4.5 Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Зафіксуємо на прямій дві точки і (координати відомі).

АВС:

Отже (1) - кутовий коефіцієнт прямої.

Зафіксуємо тепер точку , а точка має поточні координати.

АВС:

Отже  (2) - рівняння прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт.

В рівняння (2) підставимо значення к з рівності (1)

- рівняння прямої, що проходить через дві точки.

4.6 Взаємне розміщення прямих на площині.

Нехай прямі і задані відповідними рівняннями з кутовим коефіцієнтом:





1. якщо , то прямі перетинаються в одній точці;

2. якщо , то прямі мають однаковий кут нахилу до осі Ох, а значить паралельні.

Доведення: - кут між прямими і , , .

АВС: - зовнішній кут, тоді ,

Отже - тангенс кута між двома прямими.

Якщо прямі і паралельні, то ,   .

Якщо прямі і перпендикулярні, то  - не існує, тоді 

4.7 Нормальне рівняння прямої.

Нехай - це пряма, - перпендикуляр( відстань), проведений від початку координат до прямої, - кут нахилу цього перпендикуляра до осі Ох, - довільна точка прямої.

П означимо , , , , .

З АОМ:

ВОМ:

Тоді

- нормальне рівняння прямої.

(нормаль – перпендикуляр).

Знайдемо зв’язок між загальним рівнянням прямої та нормальним рівнянням прямої:



Піднесемо до квадрату перші два рівняння і додамо почленно

- нормуючий множник

Підставимо в рівність , отримаємо - нормальне рівняння прямої.

З рівності можна зробити слідуючи висновки:

1) і мають різні знаки ( бо , - відстань);

2) в нормальному рівнянні прямої знак (знак перед квадратним коренем) беремо протилежний до С.

Щоб знайти відстань від точки до прямої необхідно:

• записати нормальне рівняння прямої;

• в це рівняння підставити координати точки, відстань від якої ми знаходимо;

• взяти одержану відповідь по модулю.

Контрольні запитання.

1. Виведіть відповідні рівняння прямої на площині.

2. Які умови паралельності і перпендикулярності прямих?

3. Виведіть нормальне рівняння прямої.

4. Як знайти відстань від даної точки до даної прямої?

Лекція 5. Площина і пряма у просторі.

План.

5. Рівняння площини у просторі (*).

6. Рівняння прямої у просторі (*).

7. Кут між прямою і площиною (*).

8. Окремі випадки завдання площини у просторі (*).