11.2 Правила знаходження диференціала.
1.
у
= с;
dy
= 0;
3.
2.
; 4.
.
Особливо важливий висновок випливає з правила диференціювання складеної функції. Нехай у = f (х) = f ( (t)) — складена функція з проміжним аргументом х = (t) і кінцевим аргументом t, причому функції f(х), (t) диференційовні в точках х і t.
Тоді існує похідна y't = y'x x't, а отже, і диференціал
dy = y't dt = y'x x't dt = y'x dx
Таким чином, перший диференціал функції у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої змінної.
Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмінністю) форми диференціала.
Теорема. Форма диференціала не залежить від того, чи є аргумент незалежною змінною або функцією.
11.3 Застосування диференціала.
Відомо:
.
Якщо
,
то величина
є малою вищого порядку порівняно з dy.
При
малих
доданком
у виразі нехтують і користуються
наближеною рівністю
,
або в розгорнутому вигляді:
,
звідки
Остання наближена рівність тим точніша, чим менше .
Приклад.
Обчислити наближено
.
Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:
,
звідки
При
обчисленні
введемо
функцію
,
тоді
.
Тоді:
,
де
.
Інакше:
.
Дістанемо:
Приклад.
Знайти наближене значення функції
при х=2,01.
Представимо х у вигляді суми (2+0,01), де 0,01 будемо розглядати як приріст аргументу.
Оскільки
,
то
.
Контрольні запитання.
Що таке диференціал функції?
Для чого застосовується диференціал функції?
Наведіть приклади застосування диференціалу.
Лекція 12. Правило Лопиталя.
План.
Правило Лопиталя (*).
Перетворення невизначеностей різних видів. Приклади (***).
12.1 Правило Лопиталя.
При
обчисленні границі відношення
може виявитися, що при
чисельник і знаменник одночасно прямують
до нуля або до нескінченності, тобто є
одночасно нескінченно малими або
нескінченно великими величинами.
Говорять, що в таких випадках мають
місце "невизначеності" виду
або
.
Обчислення границі в цьому випадку називається "розкриттям невизначеності" і здійснюється за правилом Лопіталя.
Теорема (правило Лопіталя). Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.
Сутність цього правила полягає в тому, що у випадку "невизначеностей" виду або обчислення границі відношення функцій, при виконанні вказаних вимог, заміняється обчисленням границі відношення їх похідних, що у більшості випадків виявляється простіше.
У випадку, коли і відношення похідних приводить до одного з цих видів "невизначеностей" або , можна вже до цього відношення застосовувати правило Лопіталя і тим самим досліджувати відношення похідних другого порядку. Може виявитися, що і відношення похідних другого порядку дає знову яку-небудь з цих "невизначеностей". Тоді потрібно перейти до відношення похідних третього порядку і т.д. Зауважимо, що якщо знадобиться використовувати відношення похідних другого, третього і т.д. порядку, то перш ніж це робити, потрібно виконати усі можливі спрощення у виразі, отриманому на попередньому етапі.
Приклад.
Знайти
.
Виконавши
граничний перехід, дістанемо невизначеність
вигляду
.
Застосовуємо правило Лопіталя:
Приклад.
Знайти
.
Маємо
,
застосовуємо правило Лопіталя:
(виконання граничного переходу знову приводить до невизначеності виду , а тому застосовуємо правило Лопіталя повторно):
.