Лекція 20. Диференційованість функції двох змінних.

План.

54. Частинні та повний прирости функції двох змінних (*).

55. Диференційовність функції двох змінних (*).

56. Геометричний зміст частинних похідних (*).

57. Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці (*).

58. Диференціювання функцій (**).

59. Дотична площина та нормаль (**).

60. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків (**).

1. Частинні та повний прирости функції двох змінних.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним x та y приросту відповідно та так, щоб точка не виходила за межі вказаного околу. Тоді й точки , також належатимуть розглядуваному околу.

Різницю називають повним приростом функції при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х, а різницю — частинним приростом за y функції ; їх позначають відповідно і .

Таким чином,

,

,

Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

2. Диференційовність функції двох змінних.

Означення. Функція називається диференційовною у точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

,

де А, В — числа, ,  — нескінченно малі при .

Головна лінійна частина приросту функції, тобто називається повним диференціалом функції (точніше першим дифе­ренціалом) двох змінних у точці і позначається

.

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці , тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення. Нехай функція визначена в точ- ці і в її деякому околі. Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною за х (за у) функції у точці і позначається , або , або .

Таким чином, , .

Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише пам’ятати, що при знаходженні змінна у вважається сталою, а при знаходженні змінна х вважається сталою.

Тепер можна теорему можна сформулювати таким чином:

Теорема. (необхідна умова диференційовності функції у точці). Якщо функція диференційовна в точці , то в цій точці існують частинні похідні і .

Диференціали незалежних змінних збігаються з їхніми приростами: , . Тоді, як випливає із означення повного диференціала і розглянутої теореми повний диференціал функції можна обчислити за формулою:

Аналогічно повний диференціал функції трьох аргументів обчислюється за формулою:

Приклад. Знайти , якщо .

Тоді:

, де ;

Отже,

.

3. Г еометричний зміст частинних похідних.

Якщо функцію , що має частинні похідні в точці , розглядати за умови , то геометрично це означає, що поверхня перетинається площиною , паралельно координатній площині ; у перерізі дістаємо лінію. Тоді є кутовим коефіцієнтом дотичної до зазначеного перерізу в точці , тобто тангенсом кута нахилу цієї дотичної до додатного напряму осі Ох. Аналогічно, є кутовим коефіцієнтом дотичної, що проходить через точку , до кривої, яка утворюється в результаті перетину поверхні з площиною .