Лекція 2. Матриці. Дії з матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

План.

4. Матриці.

5. Дії над матрицями (*).

6. Обернена матриця (*).

7. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь (***).

8. Ранг матриці (*).

9. Однорідні системи (*).

2.1 Матриці.

В техніці дуже часто зустрічаються випадки, коли треба розв’язати систему рівнянь, яка містить 1000 і більше невідомих. Зараз це здійснюється за допомогою комп’ютерної техніки, в основі якої лежать стандартні методи розв’язання цих систем рівнянь.

В загальному вигляді система рівнянь записується так:

де - невідомих, – рівнянь, - невідомі, - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени.

Запишемо таблицю, складену з коефіцієнтів при невідомих

або

Означення. Прямокутна таблиця, складена з елементів деякої множини називається матрицею.

Елементи матриці нумеруються двома індексами: перший і – означає номер рядка, другий - означає номер стовпця. Матриця має розмір ( – рядків, - стовпців).

Матриця називається числовою, якщо її елементи - числа, функціональною, якщо її елементи - функції, векторною, якщо її елементи - вектори і т.д.

Дві матриці А і В називаються рівними, якщо (відповідні елементи рівні). Рівними можуть бути тільки матриці однакової розмірності.

Матриця, у якої називається квадратною:

Якщо m=1, то матриця називається матрицею – рядком: .

Якщо n=1, то матриця називається матрицею – стовпцем:

Квадратні матриці, у яких відмінні від нуля тільки елементи головної діагоналі, називаються діагональними:

Якщо всі елементи головної діагоналі діагональної матриці рівні між собою, то така матриця називається скалярною:

Якщо елементи діагональної матриці дорівнюють одиниці, то така матриця називається одиничною:

Матриця називається трикутною, якщо всі елементи розміщені вище (або нижче) головної діагоналі дорівнюють нулю:

2.2 Дії над матрицями.

1. Додавання матриць.

Означення. Сумою двох матриць А і В називається матриця С, елементи якої

дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В:

Сума матриць визначена тільки для матриць однакової розмірності.

2. Віднімання матриць.

Означення. Різницею двох матриць А і В називається матриця С, елементи

якої дорівнюють різниці відповідних елементів матриць А і В:

Різниця матриць визначена тільки для матриць однакової розмірності.

2. Множення матриці на число.

Означення. Добутком матриці А на число  називається матриця С, елементи

якої дорівнюють добутку відповідних елементів матриці А на число :

Приклад:

2. Множення матриць.

Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Добутком матриць і називається матриця , у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів і – того рядка матриці А на відповідні елементи - того стовпця матриці В.

, , ,

- означає, що елементи першого рядка матриці А перемножаються на відповідні елементи другого стовпця матриці В.

Приклад.