21.2 Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині.

Функція, що неперервна на замкненій обмеженій множині D, досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Цих значень вона може набувати як у внутріш­ніх точках множини D (кожна така точка є точкою екстремуму функції, у цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини D.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції в області, обмеженій прямими x = -1, x = 2, y = -1, y = 3-x.

1. Дослідимо поводження функції всередині області KLMP. Знайдемо перші частинні похідні функції : , . Прирівнявши їх до нуля, дістанемо стаціонарні точки та . 2. Дослідимо поводження функції на межі області. Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Треба знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку .

Маємо , отже, функція зростає і тому досягає найбільшого значення на кінцях відрізка, тобто в точках і L(2 ; -1).

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної у: . Маємо на відрізку .

Отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках L(2 ; -1 і M(2; 1).

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної х: , тобто . Маємо , звідки при . Отже, на відрізку функція може досягати найбільшого та найменшого значень у точках M(2; 1), та .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Маємо , отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках , .

Таким чином, функція може досягти найбільшого та найменшого значень тільки в таких точках: , , , , , , .

Знаходимо , , , , , , .

Отже, , і це значення досягається в точці (-1; -1), , і це значення досягається в точці (-1; 4).

21.3 Умовний екстремум для функції двох змінних.

Нехай на відкритій множині задано функцію , змінні якої задовольняють рівнянню

Рівняння називають рівнянням зв’язку.

Точку називають точкою умовного строгого максимуму функції відносно рівняння зв’язку , якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого , що задовольняють рівняння зв’язку, справджується нерівність .

Якщо за таких умов виконується , тоді точку називають точкою умовного строгого мінімуму функції при обмеженнях .

Аналогічно вводяться поняття нестрогого умовного екстремуму.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Якщо рівняння зв’язку можна розв’язати відносно змін­ної y, наприклад, , тоді дослідження функції на умовний екстремум при обмеженні зводиться до дослідження на звичайний екстремум функції однієї змінної x:

.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції z = xy відносно рівняння зв’язку x + y = 6.

Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінної y:

y= 6 – x

Підставимо знайдене значення y у вираз для z та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції z = x(6 - x), . Таким чином, задана функція має умовний екстремум у точці (3; 3).

Контрольні запитання.

1. Які повинні виконуватися умови, щоб функції двох змінних мала екстремум в певній точці. (*) ?

2. На прикладі поясніть застосування алгоритму знаходження екстремума функції двох змінних (*).

3. Що назівають умовним екстремумом для функції двох змінних (*) ?