3.2 Лінійні операції над векторами.

3.2.1. Основні поняття.

Скалярні величини характеризуються числовим значенням: маса, час і т.д.

Векторні величини характеризуються числовим значенням і напрямом: швидкість, сила і т.д.

В

В

ектор – це напрямлений відрізок: , точка А – початок вектора, точка В – кінець вектора.

А

Нульовий вектор – це вектор, у якого початок і кінець співпадають: .

Довжина вектора (модуль, абсолютна величина) - це довжина відрізка, який зображає даний вектор: .

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені та рівні по довжині.

Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l.

Позначається проекція вектора на вісь l — пр_l . З малюнка випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

пр_l = , де  — кут між вектором і віссю.

3.2.2. Дії над векторами в геометричній формі.

1. добутком вектора на число називається вектор, модуль якого дорівнює , а напрям співпадає з напрямом вектора , якщо і протилежний напряму , якщо .

2. додавання векторів:

   • правило трикутника:

- правило паралелограма:

3. в іднімання векторів:

Означення. Координатами вектора називаються його проекції на осі координат.

Приклад.

, де - одиничні вектори, орти.

Якщо і , то координати вектора знаходяться за формулою: (якщо , то ).

Рівні вектори мають рівні координати.

Довжина вектора: , (якщо , то ).

Якщо вектори і колінеарні, то їх координати пропорційні .

3. Дії над векторами, заданими своїми координатами.

Якщо і , то

1. - множення вектора на число;

2. - додавання векторів;

3. - віднімання векторів.

Властивості операцій з векторами:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

3.3 Скалярний добуток векторів.

Означення. Скалярним добутком двох векторів і називається добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними:

Якщо вектори задані координатами і , то скаларний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат: .

Кут між векторами знаходять за формулою:

Геометричні властивості скалярного добутку:

1. (умова перпендикулярності векторів);

2. 

3. 

4. 

Алгебраїчні властивості скалярного добутку:

1. 

2. 

3. 

4.