2. Диференціальне рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Означення. ДР виду M(x)dx + N(y)dy = 0 називається ДР з відокремленими змінними.

Загальний розв’язок ДР подається так:

а розв’язок задачі Коші з початковими умовами має вигляд

ДР з відокремленими змінними зводиться до до знаходження інтегралів.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

Інтегруючи, дістаємо інтеграл ДР

Інтегральними кривими є концентричні кола з центром у почат­ку координат.

Означення. Диференціальне рівняння виду

називається ДР з відокремлюваними змінними, тобто рівнянням, що зводяться до ДР з відокремленими змінними.

Поділивши вказане рівняння на дістанемо ДР з відокремленими змінними:

Рівняння має розв’язок де є розв’язками рівнянь

Аналогічно ДР виду є ДР з відокремлюваними змінними. Його можна записати у вигляді:

Рівняння має розв’язок виду де

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

Запишемо рівняння у вигляді

або

2. Однорідне диференціальне рівняння.

Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді

Воно за допомогою заміни змінної зводиться до ДР з відокремлюваними змінними а знаходження розв’язку зводиться до інтегрування:

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР .

Узявши , дістанемо ДР і його загальний розв’язок

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР .

Візьмемо і одержимо ДР для змінної

.

Інтегруючи ДР з відокремленими змінними, знаходимо загальний розв’язок:

2. Лінійні диференціальні рівняння.

Означення. Диференціальні рівняння виду називається лінійним ДР.

Якщо Q (x) = 0, то ДР є однорідним. Якщо Q (x) 0, то ДР називається неоднорідним.

Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР. У загальний розв’язок входять довільні сталі. Потім шукається загальний розв’язок неоднорідного ДР і при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.

Шукатимемо розв’язок неоднорідного ДР у два етапи. Спочатку розв’яжемо однорідне ДР .

,

.

Таким чином, загальний розв’язок має вигляд .

Далі шукаємо розв’язок неоднорід­ного ДР у вигляді , вважаючи С функцією від х. Підставляючи в початкове ДР , дістаємо рівняння:

.

Приходимо до простого ДР

Загальний розв’язок неоднорідного ДР запишемо у вигляді:

Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.

2. Рівняння Бернуллі.

Означення. Рівняння виду

,

де – довільне число і яке називають рівнянням Бернуллі.

Рівняння такого типу також можна розв’язати методом варіації довільної сталої.

Контрольні запитання.

47. Що називається диференціальним рівнянням?

48. Що називається рішенням диференціального рівняння ?

49. Що називається порядком диференціального рівняння?

50. Які типи диференціальних рівняннь І порядку можете назвати ? Покажіть на прикладах.

51. Поясніть методи розв’язування різних типів диференціальних рівняннь І порядку.

8