22.6 Формула Ейлера

Формула Ейлера:

, ,

, .

В загальному випадку:

За допомогою формули Ейлера можна дістати показникову форму комплексного числа:

Контрольні запитання.

1. Які числові множини можна вказати ?

2. Які існують форми запису комплексних чисел ? Наведіть приклади.

3. Які дії над комплексними числами можна виконувати ? Наведіть приклади.

4. Як здійснити перехід від алгебраічної до тригонометричної форми комплексного числа ? Наведіть приклади.

5. Як виконати дії над комплексними числами в тригонометричній формі ? Наведіть приклади.

6. Запишіть формулу Ейлера для комплексного числа. Поясніть її елементи.

Лекція 23. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку.

План.

64. Основні поняття.

65. Диференціальне рівняння першого порядку (*).

66. Диференціальне рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними (**).

67. Однорідне диференціальне рівняння (**).

68. Лінійні диференціальні рівняння (**).

69. Рівняння Бернуллі (**).

23.1 Основні поняття.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну, функцію та її похідні.

Порядок диференціального рівняння визначає найвища похідна, яка входить у рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд:

Далі замість слів «диференціальні рівняння» будемо використовувати скорочення ДР.

При вивченні ДР будемо розглядати лише диференціальні рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.

Загальним розв’язком диференціального рівняння є всяка функція, яка при підстановці її у рівняння перетворює його у тотожність. Якщо сталі, що входять до загального розв’язку, можна знайти виходячи з певних початкових умов, то буде знайдено частинний розв’язок ДР.

2. Диференціальне рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння першого порядку має вид або .

Загальним розв’язком цього рівняння є функція виду y = f (x,C), яка при довільних значеннях сталої величини є розв’язком цього рівняння. Для знаходження частинного (єдиного) розв’язку необхідно знати початкові умови, які для рівняння першого порядку записують у вигляді або .

Тоді задача пошуку розв’язку y = f (x,C), що задовольняє умови y = y₀ при x = x₀ називається задачею Коші. Геометрично функція y = f (x,C) описує множину інтегральних кривих на числовій площині.

Означення. Множина кривих, залежних від параметра, називається сім’єю кривих.

Таким чином, задачу інтегрування ДР пер­шого порядку можна розглядати як задачу пошуку рівняння сім’ї кривих y = f (x,C) за ДР, яке описує цю сім’ю.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих використовується графічний метод. ДР першого порядку задає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в кожній точці (х, у).

Якщо в кожній точці (х, у) визначений напрям деякого век­тора, то кажуть, що задано поле напрямів. ДР задає поле напрямів дотичних. Ці лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклінами. Рівняння ізоклін Побудував­ши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні криві.

Не існує єдиного універсального методу, за допомогою якого можна розв’язати диференціальні рівняння першого порядку. Існує певний клас рівнянь, які можна розв’язати (проінтегрувати). Розглянемо такі рівняння.