22.3 Тригонометрична форма запису комплексних чисел

Кожному комплексному числу a + bί поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявной частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число.

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0ί, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ bί.

М одулем комплексного числа Z = a + bί називається число: r = . Позначимо α кут, який утворює вектор з додатним напрямом осі Ох. Числове значення кута α, виміряного в радіанах, називається аргументом комплексного числа a + bί. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, тобто від 0 до 2π, називається головним. Головне значення аргументу комплексного числа можна визначити з рівності tg α = b/a. Справді, за знаками a i b можна встановити, в якій четверті міститься кут α, і за величиною tg α, використовуючи таблиці, знайти величину кута α.

Вираз Z = r cos α + ί r sin α = r (cos α + ί sin α) називається тригонометричною формою комплексного числа.

Приклад. Подати в тригонометричній формі число – 3 + 2і.

Маємо: ,

Тангенс від’ємний, отже, кут треба шукати в ІІ або IV чверті.

Далі: а = – 3 і b = 2 синус буде додатний, а косинус — від’ємний, тобто буде кутом ІІ чверті. За таблицями знаходимо: = 146° 18, а тому:

.

22.4 Дії з комплексними числами в тригонометричній формі. Формула Муавра.

Якщо задані два числа:

Z₁ = r₁ (cos α₁ + + ί sin α₁) і Z₂ = r₂ (cos α₂ + + ί sin α₂)

Тоді: Z₁ Z₂ = r₁r₂ ( cos (α₁ + α₂) + ί sin (α₁ + α₂));

= ( cos (α₁ – α₂) + ί sin (α₁ – α₂)).

При будь – якому натуральному n:

Zⁿ = (cos α + ί sin α)ⁿ = cos nα + ί sin nα.

Приклад.

і .

Тоді:

a=12(cos55°+i sin55°) і b=3(cos35°+ +i sin 35°).

Тоді

Знайдемо куб число a = 2 (cos 20° + i sin 20°).

Маємо:

.

22.5 Корінь n-го ступеня з комплексного числа.

Корінь n – го ступеня з числа Z=r (cos α + ί sin α) обчислюють за формулою

ω_k = (cos + ί sin ), де k – ціле число.

Підставляючи замість k значення 0, 1, 2…n – 1, дістанемо n різних значень кореня.