20.7 . Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків.

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини . Візьмемо будь-яку точку ; у цій точці існують частинні похідні і , які залежать від x і y, тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначаються так:

або ,

або ,

або ,

або .

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад:

, .

Означення. Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала першого порядку, тобто .

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків

..........

Приклад. Знайти , якщо .

Приклад. Знайти і для функції .

  , ,

, .

У попередньому прикладі ми дістали, що . Виявляється, що ця рівність виконується в багатьох випадках, що випливає з такої теореми.

Теорема. Якщо функція визначена в області D і в цій області існують перші похідні та , а також другі мішані похідні , , які до того ж як функції від х і у неперервні в точці , то в цій точці:

.

Контрольні запитання.

1. Що називається частинними похідними та повним приростом функції двох змінних ?

2. Сформулювати необхідну і достатню умови диференційованності функції двох змінних.

3. Поясніть геометричний зміст частинних похідних.

4. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до певної поверхні в певній точці.

Лекція 21. Екстремум функції двох змінних. Найменьше і найбільше значення функції двох змінних.

План.

61. Екстремум функції двох змінних (*).

62. Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині. (*).

63. Умовний екстремум для функції двох змінних. (*).

1. Екстремум функції двох змінних.

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок цього околу виконується нерівність , тоді ця точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції .

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці (x₀; y₀), тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай функція має у точці (x₀; y₀) неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та , а також , , . Якщо:

1)  і , тоді (x₀; y₀) точка максимуму функції ;

2)  і , тоді (x₀; y₀) точка мінімуму функції ;

3)  , тоді в точці (x₀; y₀) немає екстремуму.

4)  , тоді потрібні додаткові дослідження.

Алгоритм дослідження функції на екстремум:

1. Знайти перші частинні похідні та .

2. Знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких , .

3. Знайти частинні похідні другого порядку , , .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках.

5. Для кожної стаціонарної точки знайти і зробити висновки.

Приклад. Розглянемо функцію .

1. Знайдемо , .

2. Необхідна умова існування екстремуму полягає в тому, що

.

Розв’язком цієї системи є точка з координатами x=1, y=2.

Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

3. Знайдемо похідні другого порядку , , , звідки дістаємо, що .

4. Екстремум у точці (1; 2) існує – це максимум, бо .