Лекція 16. Інтегрування різних функцій.
План.
Інтегрування тригонометричних функцій (**).
Інтегрування ірраціональних функцій (**).
16.1. Інтегрування тригонометричних функцій.
Розглянемо
,
,
де R
— раціональна функція відносно sinx,
cosx,
тобто над sinx,
cosx
виконуються лише арифметичні дії та
піднесення до цілого степеня, наприклад:
Існують
такі підстановки, що за їх допомогою
інтеграл
завжди може бути зведений до інтеграла
від раціональної функції
,
,
загальну схему інтегрування якої
розроблено.
І.
Універсальна тригонометрична підстановка
.
.
.
Приклад.
Зауваження.
На практиці
універсальну тригонометричну підстановку
використовують, якщо sin
x, cos
x входять
у невисокому степені (інакше розрахунки
будуть дуже складні).
ІІ. Підінтегральна функція — непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.
Приклад.
ІІІ. Підінтегральна функція — непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.
Приклад.
IV.
Підінтегральна функція
— парна відносно sin x
і cos x
разом, тобто
.
.
У
цьому випадку використовують підстановку
tgx=t
або ctgx=t.
.
Приклад.
V. Підінтегральна функція R ( tgx ) раціоналізується підстановкою tgx=t.
Приклад.
Зауваження.
В інтегралах
рекомендується скористатись формулами
зниження степеня:
.
Приклад.
.
Зауваження.
При
інтегруванні інтегралів типу:
,
,
,
,
треба скористатися формулами:
,
,
.
Приклад.
16.2 Інтегрування раціональних функцій
Розглянемо підстановки для інтегрування деяких типів ірраціональних функцій, при цьому символ R(x; y) означає раціональну залежність від змінних х та у.
І.
Приклад.
.
ІІ.
.
Приклад.
.
ІІІ.
.
Приклад.
Підінтегральна
функція
після виділення повного квадрата і
заміни
раціоналізується тригонометричними
підстановками; при цьому, залежно від
знака дискримінанта квадратного
тричлена та знака коефіцієнта а
можливі такі випадки:
IV.
.
V.
.
VI.
.
Приклад.
Зауваження.
Інтеграли
типу
можуть бути проінтегровані за допомогою
підстановок Ейлера:
VII.
,
при
a>0;
VIII.
,
при
c>0;
ІХ.
,
при
,
де
— корені тричлена
.
Приклад.
де
.
Контрольні запитання.
Які випадки інтегрування тригонометричних функцій можна вказати? Наведіть приклади знаходження інтегралів
Які випадки інтегрування ірраціональних функцій можна вказати? Наведіть приклади знаходження інтегралів.