12.2 Перетворення невизначеностей різних видів.

12.2.1 Невизначеність виду .

Нехай .

Потрібно знайти

Це невизначеність типу .

Даний вираз запишемо у вигляді або ,

то при дістанемо невизначеність відповідно вигляду або .

Приклад. Знайти .

Маємо невизначеність вигляду . Зобразимо добуток функції у вигляді частки, а потім, отримавши невизначеність , застосуємо правило Лопіталя:

12.2.2 Невизначеність вигляду .

Нехай маємо функцію . При (х₀ — скінченне або нескінченне) можливі три випадки:

а) маємо невизначеність виду ;

б) дістанемо невизначеність ;

в) маємо невизначеність виду .

Ці невизначеності за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності вигляду . Справді, позначимо дану функцію через у, тобто візьмемо . Прологарифмувавши цю рівність і дістанемо:

Легко перевірити, що при добуток буде невизначеністю для всіх трьох випадків.

Відповідно до підпункту 12.2.1 розкриємо невизначеність , тобто знайдемо границю (k — скінченне або ).

Звідси .

Приклад. Знайти границю .

Маємо невизначеність виду . Позначимо функцію, що стоїть під знаком границі, через у, тобто , і прологарифмуємо її:

.

Обчислимо границю логарифма даної функції. Тут маємо невизначеність . Застосуємо правило Лопіталя:

.

Звідси .

Приклад. Знайти границю .

При маємо невизначеність .

.

Звідси .

12.2.3 Невизначеність .

Якщо функції при (х₀ — скінченне або нескінченне), то різниця при дає невизначеність . Остання з допомогою алгебраїч­них перетворень зводиться до невизначеності або .

Приклад. Знайти границю .

Маємо невизначеність виду . Алгебраїчним перетворенням приведемо цю невизначеність до невизначеності , а потім двічі застосуємо правило Лопіталя:

Приклад. Знайти .

При та - нескінченно великі величини одного і того самого знаку, тому ми маємо "невизначеність" виду . Різниця , таким чином, маємо "невизначеність" виду :

Контрольні запитання.

17. Які типи невизначенностей та способи їх перетворень можете вказати?

18. Сформулюйте правило Лопиталя.

19. Покажіть на прикладах застосування правила Лопиталя для перетворення невизначенностей.

Лекція 13. Застосування похідної для дослідження властивостей функцій.

План.

25. Вступ.

26. Основні теореми диференціального числення (**).

27. Зростання та спадання функцій (**).

28. Екстремуми функцій (**).

29. Найбільше і найменше значення функції на відрізку (**).

30. Опуклість і вгнутість кривої. Точка перегину (**).

31. Алгоритм дослідження функції та побудови графіка (**).

13.1 Вступ.

Похідна функції має широке застосування при розв’язуванні різних задач математики, фізики, техніки та економіки. Так, наприклад, за допомогою похідної можна обчислити границю функції, знайти екстремум функції, інтервали монотонності, точки перегину функції та інше.