6.5 Поверхні другого порядку

Пове́рхня — геометричне поняття, при логічному уточненні якого, в різних розділах геометрії йому надається різний зміст.

У елементарній геометрії - це площина, багатогранник, а також деякі «криві поверхні». При цьому кожна поверхня визначається спеціальним способом, без загального означення, найчастіше як множина точок, котрі задовольняють певні умови. Наприклад, сфера — множина точок, котрі знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, котру називають центром сфери.

Поняття «поверхні» лише пояснюється, а не визначається. Наприклад, кажуть, що поверхня є границею тіла чи слідом рухомої лінії.

У сучасній геометрії поверхнею називають двовимірну множину, двовимірну підмножину, але інколи навіть так означають довільну множину точок.

Означення Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду:

ах² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0,

де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний від нуля. Це рівняння називається загальним рівнянням поверхні другого порядку.

Еліпсоїд — замкнута центральна поверхня другого порядку. Еліпсоїд має центр симетрії та три осі, які називаються осями еліпсоїда. Точки перетину координатних осей з еліпсоїдом називаються його вершинами. Січення еліпсоїду площинами є еліпсами (зокрема, завжди можна вказати кругові січення еліпсоїду).
Сфе́ра - замкнута поверхня, геометричне місце точок рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери.
Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму.	де a, b, с- дійсні півосі
Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчаста поверхня, що має вигляд сідла.
Гіперболоїд однолистовий	де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;
Гіпеболоїд дволистовий	д е a і b - уявні півосі, а c- дійсна піввісь.
Конус
Еліптичний циліндр
Гіперболічний циліндр
Параболічний циліндр

Контрольні запитання.

1. Що називається лінією другого порядку?

2. Що називається колом? Запишіть його рівняння.

3. Що називається еліпсом? Виведіть його рівняння.

4. Що називається ексцентриситетом, директрисами еліпса?

5. Що називається гіперболою? Виведіть її рівняння.

6. Що називається ексцентриситетом, директрисами, асимптотами гіперболи?

7. Що називається параболою? Виведіть її рівняння.

8. Яке рівняння параболи, симетричної відносно осі Ох, Оу?

9. Які поверхні другого порядку можете вказати, які їх рівняння ?