6.3 Гіпербола.

Гіпербола – це геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох заданих точок, які називаються фокусами, є величина стала і дорівнює 2а.

За означенням

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

, піднесемо обидві частини рівності до квадрату

Позначимо , тоді .

Поділимо обидві частини цієї рівності на , тоді

- канонічне рівняння гіперболи.

2а – дійсна вісь, 2в – уявна вісь, 2с – фокусна вісь, - вершини гіперболи

зв’язок між фокусною відстанню та осями гіперболи ( ).

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до відстані між вершинами:

Директрисами гіперболи називаються прямі, що задаються рівнянням:

.

Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Асимптоти гіперболи задаються рівняннями:

- рівняння гіперболи із зміщеним центром, - центр.

Якщо , то

Гіперболи та називаються спряженими.

Канонічне рівняння
Розташування фокусів Координати фокусів Дійсна вісь Уявна вісь Фокусна відстань Ексцентриситет Співвідношення між a,b,c	F1 ; F2  Ox F­1(-c;0), F2(c;0) |A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2|=2c =c/a с2 = a2 + b2	F1 ; F2  Oy F­1(0;c), F2(0;-c) |B1B2|=2b |A1A2|=2a |F1F2|=2c =c/b c2 = a2 + b2

6.4 Парабола.

Парабола – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки , та фіксованої прямої ( не проходить через ).

Точка називається фокусом, пряма називається директрисою.

Розмістимо систему координат так, щоб точка знаходилась на осі Ох, директриса була перпендикулярною до осі Ох, а точка ділила відстань між фокусом і директрисою пополам: .

П означимо , тоді тому ,

Директриса задається рівнянням:

За означенням параболи

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

- канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі Ох.

- канонічне рівняння параболи, вершина якої знаходиться в

точці

Канонічне рівняння
Розташування фокуса	На додатній піввісі Ox	На від’ємній піввісі Ox
Координати фокуса
Рівняння директриси