иметь ввиду, что в этих механизмах нагрузка распределяется на все сателлиты, поэтому момент на их валах:
Mg = Ma iag ag / nw |
( 4.34 ) |
гдеnW – количество сателлитов.
4.9.2. Усилия в зацеплениях
Вообще говоря, в зацеплении действует одно усилие – это реакция R в точке контакта со стороны одного зуба на другой (рис. 4.22). Однако для расчетов удобнее использовать ее проекции. Окружное усилие:
Ft |
2M j |
( 4.35 ) |
|
dWj |
|||
|
|
гдеMj– крутящий момент, действующий на данном колесе, dWj – диаметр начальной окружности колеса.
Радиальное усилие: |
|
Fr = Fttg W |
( 4.36 ) |
В косозубых и винтовых передачах возникает еще |
|
одно усилие – осевое (рис. 5.22б): |
|
Fx = Rsin |
( 4.37 ) |
где – угол наклона зубьев. |
|
Возникновение осевого усилия можно считать недостатком косозубых колес, т.к. оно воспринимается
подшипниками вала и в этом случае необходимо хотя бы один подшипник делать радиально-упорным. Для преодоления этого недостатка применяют колеса с шевронными зубьями.
4.9.3. Определение реакций в опорах валов
Эту задачу решим на примере второго вала механизма, изображенного на рис. 4.21. На рис. 4.23 представлены расчетные схемы.
1.Разрываем кинематические пары зацепления колес 1-2 и 3-4 и в точках отсоединения прикладываем реакции отброшенных частей, которые в данном случае являются усилиями в зацеплениях (рис. 4.23а).
2.Приводя эти усилия к центрам колес, и полагая, что всю осевую нагрузку воспринимает подшипник B, получаем балку на двух опорах, нагруженную пространственной системой сил (рис. 4.23б).
Реакции в опорах A и B найдем из уравнений равновесия. Сначала найдем составляющие реакций, действующие в плоскости XY.
Из условия FX = 0 получаем RBx = FX2 – F X3 Условие MAXY = 0 дает:
RBy (l1+l2+l3) + Fr2l1 – Fr3 (l1+l2) + MX2 + MX3 = 0.
51
Откуда: RBy = (Fr3 (l1+l2) – Fr2l1 – MX2 – MX3) / (l1+l2+l3).
Тогда из условия FY = 0 получаем:
RAy = Fr3 – Fr2 – RBy.
Теперь найдем составляющие реакций, действующие в плоскости XZ.
Условие MAXZ = 0 |
дает: |
|
|
|
|
||||
RBz (l1+l2+l3) – Ft2l1 + Ft3 (l1+l2)= 0. |
|
|
|
||||||
Откуда: |
RBz = (Ft2l1 – Ft3 (l1+l2)) / (l1+l2+l3). |
||||||||
Тогда из условия FZ = 0 получаем: |
|
|
|||||||
|
RAz = Ft2 – Ft3 – RBz. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R2 |
R2 ; |
R R2 |
R2 |
R2 |
||||
|
A |
|
Ay |
Az |
B |
Bx |
By |
Bz |
|
Полные реакции в опорах:
4.10. КПД зубчатых механизмов
Подробный расчет КПД зубчатых механизмов не является задачей данного курса. Здесь мы рассмотрим лишь основные принципы. Более подробно этот вопрос рассмотрен, например, в работе [ 16 ].
Первое, что следует отметить – это то, что учет потерь на трение с помощью КПД представляет собой довольно грубую методику, применимую только для механизмов, имеющих достаточно высокую степень нагруженности внешними полезными силами, когда доля сил трения в общей силовой картине не высока. Это обычно характерно для машиностроения. В приборостроении, особенно в точном приборостроении, обычно применяют более тонкие методики.
52
4.10.1. КПД зубчатых механизмов с неподвижными осями колес
Введем понятие коэффициента потерь:
|
NТР |
|
( 4.38 ) |
|
NВЩ |
||||
|
||||
|
|
|||
где NТР – мощность сил трения, NВЩ – мощность на ведущем колесе. |
|
|||
|
Тогда КПД механизма можно представить в виде |
|
||
|
|
= 1 – |
( 4.39 ) |
|
|
Общий коэффициент потерь механизма находят как сумму |
|||
коэффициентов потерь от различных видов потерь i: |
|
|||
|
|
= i |
|
|
|
Рассмотрим основные виды потерь, характерные для зубчатых |
|||
механизмов. |
|
|||
|
Потери на трение в зацеплениях обычно определяются по упрощенной |
|||
эмпирической зависимости |
|
|||
|
|
З 2,3 f З (1/Z1 1/Z2) |
( 4.40 ) |
|
где f З 1,25 f – коэффициент трения в зацеплении;
f – коэффициент трения скольжения, определяемый по номограммам, например, рис. 4.24 [16] в зависимости от степени нагруженности передачи и суммы скоростей контактирующих точек
v 2vsin W,
где v – окружная скорость зубчатых колес;
Z1,Z2 – числа зубьев колес, знак “+” берется для внешнего зацепления, “–” – для внутреннего.
Потери на трение в подшипниках качения определяют по формуле [ 16 ]
|
nП |
M |
ТРj |
n |
j |
|
|
П |
|
|
|
( 4.41 ) |
|||
Mn РО |
|||||||
|
j 1 |
|
|||||
где MТРj,nj – момент трения и частота вращения j-го подшипника; nП – количество подшипников в опоре (редукторе); (Mn)РО – произведение момента и частоты вращения рабочего органа.
Приближенное значение момента трения определяют из зависимости
M ТР = 0,5fFrd
53
где f – коэффициент трения в подшипнике (см. [ 2 ]); Fr – радиальная нагрузка на подшипник;
d – внутренний диаметр подшипника.
Потери на перемешивание и разбрызгивание масла для цилиндрических передач с внешним зацеплением, смазываемых окунанием при погружении зубчатого колеса на глубину (2…3)m, приближенно определяется по формуле
[16]
РМ |
|
0,04dW 1bw |
|
2V |
|
, |
( 4.42 ) |
M1 |
|
Z1 Z |
2 |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
где – кинематическая вязкость масла при рабочей температуре, м2/с; М1 – крутящий момент, Нм;
V – окружная скорость, м/с; линейные размеры берутся в мм.
При струйной смазке значения РМ, найденные по формуле (4.42) надо умножить на коэффициент 0,7.
Таким образом, общий коэффициент потерь для большинства зубчатых механизмов с неподвижными осями колес находят как сумму трех коэффициентов потерь:
= З + П + РМ.
4.10.2.КПД планетарных зубчатых механизмов
КПД планетарных зубчатых механизмов выражают через коэффициент потерь механизма с остановленным водилом. Действительно
|
NТР |
|
NВЩ(h) h |
( 4.43 ) |
|
1 1 NВЩ 1 |
NВЩ |
||||
|
|||||
где NТР – мощность сил трения, NВЩ – мощность на ведущем колесе, NВЩ(h) – мощность на ведущем колесе механизма с остановленным водилом, h – коэффициент потерь механизма с остановленным водилом (определяется, как это описано в п. 4.10.1).
Из выражения (4.43) можно получить формулы для КПД конкретных механизмов. Например, для механизма схемы Aahb (см. рис. 4.15)
NВЩ = Ma a, NВЩ(h) = Ma ( a– h).
Тогда
1 M a ( a h ) h
M a a
Преобразовывая это выражение, получаем
1 1 p p h
где p = –iab(h) – параметр передачи.
54
1 iab(h) 1 h
Аналогично, для других механизмов, например, для схемы Bahb можно получить:
4.11. Дифференциальные зубчатые механизмы
Дифференциальными называются зубчатые механизмы, в составе которых имеются колеса с подвижными осями, и имеющие число степеней свободы W = 2.
Простейшую схему дифференциального механизма (рис. 4.25а) получим из планетарного схемы Aahb (см. рис. 4.15а), если предоставим свободу вращения колесу b, которое в планетарном механизме неподвижно. Для определенности будем полагать, что входными звеньями являются центральные колеса a и b, а выходным – водило h.
В данном случае задача кинематического анализа формулируется в общем виде: по известным значениям параметров движения входных звеньев определить параметры движения выходного звена.
Задача по определению скоростей линейна, следовательно, выполняется принцип суперпозиции. Угловая скорость водила h состоит из двух компонент: одна составляющая h(a) определяется вращением колеса a, а другая h(b) – вращением колеса b:
h = h(a) + h(b).
Для определения составляющих рассмотрим соответствующие планетарные механизмы Aahb и Abha (см. рис. 5.15а,б).
h(a) = aiha(b),h(b) = bihb(a).
Передаточные iha(b), ihb(a) отношения определяются так, как это описано выше.
55
На рис. 4.25б в качестве примера, представлена упрощённая схема одного из наиболее широко применяемых дифференциальных механизмов – механизма привода колес автомобиля. Здесь Д – двигатель, вращение вала которого через конические колеса 1, 2 передается водилу h. Водило вращает оси сателлитов g и через центральные колеса a это движение передается колесам автомобиля. Рассмотренная цепь представляет собой первую степень свободы, определяющую общее движение автомобиля вперед или назад. При входе автомобиля в поворот колеса, идущие по внешнему радиусу за время поворота проходят путь больший, чем колеса, идущие по внутреннему радиусу. Поэтому, они должны иметь большую угловую скорость, т.е. правое колесо должно иметь возможность свободно вращаться относительно левого. На схеме видно, что контур конических зубчатых колес a–g–a предоставляет такую возможность – это и есть вторая степень свободы.
56