Соотношение между диаметром начальной и основной окружности:
db = dWcos W |
( 4.2 ) |
Шагом зацепления называется расстояние между одноименными точками профилей двух соседних зубьев (см. рис. 4.3б). Шаг измеряют по дуге начальной или основной окружности. В первом случае его обозначают pW, а во втором – pb. Для косозубых и винтовых колес шаг можно измерять по торцу зуба (см. рис. 4.3в), тогда шаг называют торцевым и в индексе ставят значок “t” или по нормали к оси зуба, в этом случае его называют нормальным и в индексе ставят значок
“n”. В соответствии с выражением (4.2): |
|
pb = pWcos W |
( 4.3 ) |
Нормальный шаг: |
|
pn = ptcos |
( 4.4 ) |
где – угол наклона зубьев косозубого колеса (см. рис. 4.3в). |
|
Важнейшим параметром любого зубчатого колеса является его модуль. По |
|
определению модуль зубчатого колеса это: |
|
m = pWt/ ; |
( 4.5 ) |
Подчеркнем, что выражение (4.5) – это определение понятия “модуль зубчатого колеса”, а не формула для его вычисления. В дальнейшем мы узнаем, что “m” определяется по условиям прочности или точности.
Понятие модуля колеса важно в первую очередь тем, что любой размер зубчатого колеса выражают в виде некоторого безразмерного коэффициента умноженного на “m”, или комбинации коэффициентов, умноженной на “m”. Это позволяет унифицировать проектные расчеты.
31
Величины модулей зубчатых колес стандартизованы, т.е. в ГОСТах перечислены те значения “m”, которые допускается применять при проектировании.
Теперь введем еще одну характерную окружность: так называемую делительную, её диаметр:
d = mZ; |
( 4.6 ) |
где Z – количество зубьев на колесе.
В дальнейшем, когда мы будем изучать изготовление зубчатых колес методом обкатки, будет введено понятие смещения инструмента. Сейчас предварительно отметим, что при отсутствии смещения инструмента делительная и начальная окружности совпадают.
Начальная окружность делит зуб на головку и ножку. На рис. 4.3б обозначены: ha– высота головки зуба, hf– высота ножки зуба.
ha= ha* m, hf=( ha* + C*) m ( 4.7 )
где ha* – коэффициент высоты головки зуба, его значение: ha* = 1 – для нормального зуба, ha* = 0,8 – для укороченного,
C* – коэффициент радиального зазора, при изготовлении колеса без смещения инструмента его значение обычно принимают C* = 0,25.
Следующие две характерные окружности зубчатого колеса: окружность выступов – её диаметр обозначается daи окружность впадин зубьев – df (см. рис.
4.3б): |
|
|
da = dW + 2ha; |
df = dW – 2hf; |
( 4.8 ) |
Таким образом, ножка зуба больше его головки на величину радиального зазора между окружностью выступов одного колеса и окружностью впадин – другого.
4.4. Теоретический и рабочий участок линии зацепления, зоны одно- и двупарного зацепления, коэффициент перекрытия
Как уже отмечалось, при эвольвентном зацеплении не только полюс зацепления неподвижен, но неподвижна вся общая нормаль к контактирующим поверхностям. Следовательно, траектория точки контакта зубьев – это прямая, а точнее отрезок общей нормали. Таким образом, отрезок общей нормали, в пределах которого реально движется точка контакта, называется рабочим участком линии зацепления, а его предельно возможная величина – теоретическим участком линии зацепления.
На рис. 4.4а представлено построение этих отрезков. По способу образования эвольвенты теоретический участок линии зацепления – это отрезок b1b2– тот же, что и на рис. 4.3а.
Поскольку первое касание при вхождении в контакт происходит вершиной зуба, то рабочий участок линии зацепления а1а2определяется пересечениями окружностей выступов с общей нормалью n-n.
На рис. 4.4бв показаны эпюры коэффициента удельного давления q и удельного скольжения в зависимости от положения точки контакта.
32
q |
m 1 2 |
; |
1 |
1 |
|
1 |
; |
1 u |
2 |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
12 |
u |
|
|
2 |
|
21 |
12 |
|
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
где 12 – радиусы кривизны эвольвент, m – модуль зацепления, u12– передаточное число зубчатой пары.
Чтобы зацепление было плавным необходимо, чтобы до выхода из зацепления очередной пары зубьев следующая пара уже вошла в зацепление. Таким образом, в момент вхождения в зацепление очередной пары зубьев и еще некоторое время после этого в зацеплении находится две пары зубьев. Участок линии зацепления, соответствующий этому состоянию, называют зоной двупарного зацепления. Далее предыдущая пара зубьев выходит из зацепления, в зацеплении остается одна пара и вся нагрузка падает на неё. Участок линии зацепления, соответствующий этому состоянию, называют зоной однопарного зацепления. Значения удельного давления, вычисленные по формуле (4.9) соответствуют зоне однопарного зацепления, а зоне двупарного – эти величины в два раза меньше
(см. рис. 4.4б).
33
|
|
a1a2 |
|
a1a2 |
|
|
|
pbt |
|
pWt cos W |
|
|
|
|
|
||
И так, в зацеплении находится попеременно то одна, то две пары зубьев. Среднее количество пар зубьев, находящихся в зацеплении называется коэффициентом перекрытия . Для прямозубой передачи его величина равна отношению
длины рабочего участка линии зацепления к шагу по основной окружности:
( 4.10 )
4.5. Методы изготовления зубчатых колес
Вообще говоря, все методы изготовления зубчатых колес можно разбить на две категории:
-метод копирования;
-метод обкатки.
4.5.1.Метод копирования
Исторически это первая категория методов, которые стали применять для изготовления “правильных” зубчатых колес, т.е. таких, зацепление которых отвечает основной теореме зацепления. Суть метода сводится к тому, что изготавливают инструмент, рабочая поверхность которого имеет форму зуба нарезаемого колеса. На рис. 4.5 дан пример, когда колесо изготавливается с помощью модульной фрезы. К методу копирования относится и штамповка колес.
К преимуществам этого метода относится возможность изготовления любого типа колес, с любым профилем зубьев. Что и обусловило применение этого метода главным образом для изготовления колес не эвольвентным профилем зубьев.
Основным недостатком метода является его относительно высокая стоимость, т.к. для каждого типоразмера колеса требуется свой инструмент. Инструмент этот имеет весьма сложную форму рабочей поверхности. Рабочая поверхность должна иметь очень высокую твердость, следовательно, для обработки такой поверхности требуется инструмент еще более высокой твердости, и оснастка получается весьма дорогостоящей. Таким образом, применение метода копирования целесообразно для колес с не эвольвентным профилем зубьев или при массовом или крупносерийном производстве.
34
4.5.2. Метод обкатки
Этим методом можно изготовить только колеса с эвольвентным профилем зубьев. Инструментом в данном случае может являться: режущая рейка, червячная фреза или долбяк. На рис. 4.6 показана схема изготовления колеса методом обкатки режущей рейкой. Движение резанья происходит перпендикулярно плоскости рисунка.
Если инструмент и заготовка расположены друг относительно друга так, что делительная прямая режущей рейки касается делительной окружности колеса, то говорят, что колесо изготавливается без смещения инструмента (коэффициент смещения x = 0). Смещение инструмента от центра заготовки называется положительным, к центру – отрицательным. Величина смещения равна xm.
Кнедостаткам метода можно отнести то, изготовить можно только колеса
сэвольвентным профилем зубьев.
Кпреимуществам этого метода относится его относительная дешевизна. Т.к. во-первых, режущие кромки, например, режущей рейки прямолинейны и их обработка гораздо дешевле, чем для инструмента в методе копирования. А вовторых, инструмент более универсален: одной и той же рейкой можно изготавливать различные колеса с одним модулем.
4.6.Явления подреза и заострения зуба. Минимальное число зубьев на колесе
При проектировании зубчатых механизмов часто возникает задача уменьшения диаметров колес, так как при этом уменьшается металлоемкость конструкции и, следовательно, ее стоимость. Поскольку диаметр делительной окружности колеса равен d = mZ, то уменьшить d можно либо уменьшением модуля, либо уменьшением числа зубьев.
35
Модуль колес определяется по условиям прочности и не может быть меньше, чем требуется для обеспечения контактной и изгибной прочности зубьев.
Следовательно, дальнейшее уменьшение диаметра колеса возможно только за счет уменьшения числа зубьев. Однако, как показала практика, при малом числе зубьев на колесе изготовление его методом обкатки приводит к образованию подрезанного зуба (рис. 4.7б). Это связано с тем, что эвольвента существует только снаружи от основной окружности db, а при малом числе зубьев эта окружность проходит по телу зуба, и та его часть, которая находится внутри db эвольвентой не является, а, следовательно, и не отвечает условиям основной теоремы зацепления. При достаточно большом числе зубьев основная окружность проходит ниже окружности впадин, как это показано на рис. 4.7а, или в пределах радиального зазора зацепления и тогда весь зуб или его рабочая часть имеет форму эвольвенты.
Таким образом, во избежание явления подреза зуба надо найти такое количество зубьев Zmin, начиная с которого возникает описанная выше ситуация. Рассмотрим сначала случай изготовления колеса без смещения инструмента.
На рис. 4.7в представлена расчетная схема, где режущая рейка находится в предельно допустимом положении, когда вершины ее зубьев находятся на линии bc, т.е. когда вершины зубьев рейки касаются основной окружности (см. также рис. 4.6).
По построению имеем:
ha = OW – OC = rmin – rbcos W = rmin – rmincos2 W = = rmin (1– cos2 W) = rmin sin2 W
Откуда
ha* m = (dmin/2) sin2 W ha* m = (m zmin/2) sin2 W
36
|
|
2h* |
|
||
Zmin |
|
|
a |
|
|
sin2 |
W |
( 4.11 ) |
|||
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Для нормального зуба (ha* = 1) для колеса, изготовленного без смещения инструмента ( W = 20О) по формуле (4.11) получаем Zmin 17.
Для случая наличия смещения инструмента аналогично можно получить:
|
2(h* |
x) |
|
||
Zmin |
a |
|
|
( 4.12 ) |
|
sin |
2 |
|
|
||
|
|
W |
|
||
|
|
|
|
|
|
где x – коэффициент смещения.
Формула (4.12) показывает, что введение положительного смещения позволяет уменьшить минимальное число зубьев. Однако, при увеличении положительного смещения возможно возникновение другого недопустимого явления – заострения зуба (рис. 4.7д). Зуб является заостренным, если полка на вершине зуба составляет меньше, чем (0,2…0,4)m.
4.7. Зубчатые передачи
4.7.1. Цилиндрические зубчатые передачи
При выводе формул для определения передаточных отношений будем опираться на его определение.
i |
1 |
|
Vt1 / rW 1 |
|
rW 2 |
|
dW 2 |
|
mZ 2 |
( ) |
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
2 |
Vt 2 / rW 2 |
|
rW 1 |
|
dW 1 |
|
mZ1 |
|
Z1 |
|
||
|
|
|
|
|
( 4.13 ) |
||||||||
|
|
Для механизма, изображенного на рис. 4.8а: |
|||||||||||
где m – модуль, Z1, Z2 – числа зубьев колес.
Этому передаточному отношению приписывается знак “–” для внешнего зацепления, т.к. при этом изменяется направление вращения и знак “+” для внутреннего зацепления, т.к. при этом направление вращения не изменяется.
37
4.7.2. Пространственные зубчатые передачи
Пространственными называются зубчатые механизмы, позволяющие передавать вращение между валами, расположенными в различных плоскостях.
Кним относятся:
1.Конические зубчатые передачи.
2.Винтовые.
3.Червячные.
4.Гипоидные.
И некоторые другие.
4.7.2.1. Конические зубчатые передачи
Эти передачи позволяют передавать вращение и крутящие моменты между валами с пересекающимися осями. В общем случае угол , между осями валов может быть произвольным (рис. 4.9а). На практике чаше всего применяются механизмы с = 90O. В этом случае передачу называют ортогональной.
В общем случае в неортогональной передаче угол, дополненный до 180O к
углу между векторами угловых скоростей 1 и 2 звеньев 1 и 2, называют межосевым углом .
|
|
Связь между векторами угловых скоростей |
|
|
|
|
звеньев 1 и 2: |
||||||
|
|
1 и 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
( 4.14 ) |
||||
|
|
|
1 21 |
||||||||||
где |
|
21 – угловая скорость звена 2 относительно звена 1. |
|
||||||||||
38
На рис. 4.10 представлен план угловых скоростей, соответствующий
векторному уравнению (4.14). Положение вектора |
|
|
относительно векторов |
|
|
||
|
21 |
1 |
|||||
и |
|
|
|||||
2 определяется углами W1, W2, сумма которых равна межосевому углу : |
|||||||
|
|
W1 + W2 = |
( 4.15 ) |
||||
Если вектор 21 перенести в точку O пересечения осей колес, то он совпадет с мгновенной осью OP относительного движения звеньев и определит конические поверхности, называемые начальными конусами.
sin W 1 sin W 2
2 
1
Углы W1 и W2 начальных конусов определяют при решении векторного уравнения по теореме синусов:
Поскольку отношение угловых скоростей по определению называется передаточным отношением, то
i 1 |
sin W 2 |
( 4.16 ) |
||
12 |
2 |
|
sin W 1 |
|
|
|
|
||
Для ортогональной передачи (см. рис. 4.9б) из OPA: R2 = OPsin W2
из OPB: R1 = OPsin W1
Тогда
i |
sin W 2 |
|
OP sin W 2 |
|
R2 |
|
d w2 |
|
mZ 2 |
|
Z 2 |
( 4.17 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
sin W 1 |
|
OP sin W 1 |
|
R1 |
|
d w1 |
|
mZ1 |
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные параметры
39
Схема конического зубчатого колеса представлена на рис. 4.11, где приняты следующие обозначения.
ДК – делительный конус, КВР – конус вершин, КВП – конус впадин,
Внешний и внутренний ДпК – внешний и внутренний дополнительные конусы.
Все параметры колеса измеряются по внешнему ДпК, что отмечается индексом “e” в обозначениях параметров.
4.7.2.2. Гиперболоидные зубчатые передачи
Геометрическое место положений мгновенных осей вращения называют аксоидом. В зубчатой передаче со скрещивающимися осями колес при постоянном передаточном отношении аксоидами относительного движения являются однополюсные гиперболоиды вращения. Поэтому зубчатые передачи со скрещивающимися осями колес называют гиперболоидными.
Винтовая передача
Эта передача состоит из двух эвольвентных цилиндрических косозубых колес (рис. 4.12), оси которых скрещиваются в общем случае под произвольным
углом . Межосевой угол
= W1 W2
где – углы наклона линий зубьев (винтовых линий) по начальным цилиндрам; знак “+” соответствует одноименному направлению винтовых линий, “–” – разноименному.
В частном случае ортогональной передачи = W1 W2 = 90O.
Как для любых косозубых колес в данном случае различают торцевой pt и нормальный pn шаг зацепления
pn = pt / cos W
На рис. 4.12б построен план скоростей для контактной точки, совпадающей с полюсом зацепления “w”.
Из pvnv1: vn = v1 cos W1 из pvnv2: vn = v2 cos W2
40