ТММ / Лекции / Лекции_ТММ_2018_ПТМ

Несмотря на то, что матрицы составлены по-разному – они дают один и тот же результат. Строка 4 и часть строки 7 образуют “прямоугольник” с разностью длин сторон: 3–2=1 (в таблицах выделены фоном) и указывают они на одни и те же звенья: 3, 5, 6, одно из которых является пассивным. В этом механизме пассивным наверно является 5-е или 6-е.

3.РЫЧАЖНЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Крычажным относят такие механизмы, звенья которых образуют только вращательные и поступательные пары 5-го класса (рис. 1.1,д, е), цилиндрические пары 4-го класса (рис. 1.1,б) и сферические пары 3-го класса (рис. 1.1,в).Это отличает их от других механизмов с низшими парами - клиновых, в которых все пары поступательные, или винтовых, в составе которых имеются одноименные пары (рис. 1.1,ж).

Все механизмы с низшими парами, в том числе и рычажные, обладают высокой нагрузочной способностью, т. е. могут передавать большие усилия, поскольку контакт их звеньев осуществляется по некоторым поверхностям. Это достоинство сохраняется и в том случае, если в рассматриваемых механизмах некоторые низшие пары заменены кинематическими соединениями - шариковыми

ироликовыми подшипниками или направляющими. Элементы кинематических пар рычажных механизмов обычно представляют собой поверхности вращения или являются плоскостными, поэтому они просты в изготовлении.

Кнедостаткам рычажных механизмов нужно отнести ограниченность возможных движений выходных звеньев из-за свойства обратимости низших кинематических пар и сложность метрического синтеза, т. е. определения размеров, при которых достигается требуемый закон движения. Несмотря на эти недостатки рычажные механизмы относятся к самым распространенным.

4.Классификация рычажных механизмов

В основу классификации рычажных механизмов положен структурный признак. Рассмотрим такой подход к классификации на примере плоских механизмов с замкнутыми кинематическими цепями.

Будем считать, что любой сложный рычажный механизм состоит всего из трех типов элементов:

одного исходного механизма; в редких случаях таких механизмов может быть несколько - их число совпадает с числом степеней свободы w всего сложного механизма;

любого числа наиболее простых кинематических цепей с нулевой по-

движностью (w= 0), называемых структурными группами или группами Ассура;

любого числа пассивных звеньев; эти элементы являются необязательными и могут отсутствовать.

11

Исходным механизмом будем называть кинематическую цепь, состоящую из одного подвижного звена 1 и стойки (n+1). Это понятие нужно считать условным, так как в подобной цепи не происходит никакого преобразования движения. Две разновидности исходного механизма показаны на рис. 2.1, для каждой из них степень подвижности, определяемая по формуле (1.2), равна w 3 n - 2 p5 3 1 2 1 1.

Рис. 2.1

Исходному механизму присвоен 1-й класс и 1-й порядок (понятие порядок будет пояснено в следующем пункте.

В соответствии с ранее приведенным определением структурная формула (1.2) для группы Ассура принимает вид w 3 n - 2 p5 0 .

Поскольку величины п и р5 являются целыми, то из очевидных соотношений n=(2/3)·р5 и р5 = (3/2)·n получаем следующие необходимые признаки структурной группы: число звеньев в группе всегда четное (п=2, 4, 6, 8, ...); число кинематических пар, в которые входят или могут входить звенья группы, всегда кратно трем (р5 =3, 6, 9, 12, ...); невозможность расчленения группы на более простые цепи с нулевой подвижностью.

Все структурные группы подразделяют на классы (2-й, 3-й и 4-й), а также им присваивают определенный порядок, номер которого совпадает с числом по-

водков,

т. е. звеньев со свободным элементом кинематической пары, которым каждое из них может быть присоединено к другому. Если все поводки присоединить свободными элементами к какому-либо одному звену, например, к стойке, - структурная группа превращается в жесткую ферму.

К группам 2-го класса (диады) относят наиболее простые с п=2 и р5 =3, состоящие всего из двух звеньев2и3 (рис. 2.2), которые входят друг с другом в кинематическую пару и помимо этого могут образовать кинематические пары еще с двумя звеньями. Следовательно, в данном случае каждое из звеньев является поводком и все группы 2-го класса имеют 2-й порядок.

В зависимости от взаимного расположения вращательных (в) и поступательных (п) пар и с учетом степени распространенности такие группы условно подразделяют на пять видов (рис. 2.2). Группы 6-го вида с одними поступательными парами (п-п-п) не существует, так как после присоединения к стойке она образует не ферму, а разновидность клинового механизма.

12

шипно-кулисным. Иногда в названии механизма подчеркивают его функциональное назначение. Например, механизм на рис. 2.2,и называют синусным, а на рис. 2.2,к - тангенсным, поскольку линейные перемещения ползунов в них будут пропорциональны синусу и тангенсу угла поворота звена 1.

2. Кинематический анализ рычажных механизмов

2.1. Постановка задачи

Если число степеней свободы механизма W = 1, то при фиксированных размерах звеньев значения их кинематических параметров движения однозначно определяются значениями кинематических параметров движения одного звена, называемого входным, которым и считается то звено, характер движения которого при кинематическом анализе полагается известным.

Тогда задача кинематического анализа формулируется следующим обра-

зом: при известных мгновенных значениях кинематических параметров движения входного звена определить мгновенные значения кинематических параметров движения остальных звеньев.

Таким образом, задача кинематического анализа решается автономно в каждом положении механизма, а для полного кинематического исследования её надо решить многократно для ряда последовательных положений механизма за весь цикл его работы.

Вдальнейшем при нумерации звеньев входное всегда будет иметь номер

1.Если оно совершает вращательное движение, то по условию задачи должны

быть заданы: его угол поворота 01от оси Х0 неподвижной системы координат (НСК), угловая скорость 1, угловое ускорение 1. Если вращающееся входное звено совершает полные обороты, то его называют кривошипом. Часто его угол поворотаудобно отсчитывать от того значения 01, которое соответствует ка- кому-то характерному положению механизма, например, крайнему положению рабочего органа, тогда будем обозначать его 1.

В результате решения задачи для звеньев, совершающих сложное движение, например, шатуны, необходимо определить:

а) поступательную составляющую движения, характеризуемую положением, скоростью и ускорением центра масс,

б) вращательную составляющую, характеризуемую углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением звена. Для вращающихся звеньев достаточно определить их угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение. Для поступательно движущихся звеньев – положение интересующей нас точки, например, центра масс и еголинейную скорость и ускорение.

Решение описанной задачи опирается на структурный анализ механизма. Общая последовательность кинематического расчета следующая.

1. По исходно заданным кинематическим параметрам движения входного звена определяются параметры движения той его точки, в которой присоединяется первая структурная группа. Эти значения преобразуются в её систему координат.

14

2.Производятся расчеты для этой структурной группы и вычисляютсяпараметры движения той точки её звена, в которой присоединяется следующая группа.

3.Эти значения преобразуются в систему координат следующей структурной группы, производится её расчет и т.д.

В соответствии с описанным алгоритмом строится и дальнейшее изложение. Сначала будет рассмотрена кинематика входных механизмов, а после этого расчет структурных групп, для которых уже можно будет полагать, что параметры движения входных кинематических пар известны. Основные расчетные зависимости для структурных групп получим методом векторных контуров [5, 9, 14, 18], параметры движения характерных точек на звеньях, таких как центры масс, рабочий орган и т.п. – методом преобразования координат.

Расчетные зависимости для определения кинематических параметров движения звеньев будут получены для структурных групп 2 класса 2 порядка. При этом итоговые выражения в качестве необходимых исходных данных будут содержать параметры движения входных кинематических пар. Это позволяет использовать полученные зависимости для расчета механизмов, содержащих несколько структурных групп и при различных видах движения входного звена.

5.Метод планов скоростей и планов ускорений

Скорости и ускорения могут быть определены с помощью графических построений, которые называются соответствующими планами.

Из теоретической механики известно, что движение некоторой точки М по отношению к основной системе отсчета, которая принята за неподвижную, называется абсолютным, по отношению к подвижной системе отсчета - относительным, а движение подвижной системы отсчета по отношению к основной - переносным движением. Скорость и ускорение точки М по отношению к каждой из систем называют соответственно абсолютными скоростью ( a и ускорением

(aa или относительными скоростью ( r и ускорением ( a . Скорость и ускорение точки М', связанной с подвижной системой отсчета и совпадающей в данный момент с движущейся точкой М, называют переносной скоростью ( e и ускоре-

нием (ae .

Абсолютные скорость и ускорение любой точки можно найти из векторных

В общем случае переносное и относительное ускорения состоят из нормальной (центростремительной) и тангенциальной (касательной) составляющих

15

где e и e - вектор и величина переносной угловой скорости. Из выражений (2.11) и (2.12) следует, что ak 0 в трех случаях: когда переносное движение является поступательным ( e =0), когда точка имеет мгновенную остановку в относительном движении ( r = 0), когда векторы r и e параллельны (sin( e , r )

= 0).

Методы планов скоростей и ускорений позволяют с помощью графических построений решать системы уравнений типа (2.7) и (2.8). Покажем это на двух простых примерах.

Рассмотрим структурную группу 1-го вида (рис. 2.6,а), для точек В и D которой известны скорости B и D , а также ускорения aB и aD . Нужно определить скорости и ускорения точек С, S2 и S3.В неподвижной системе отсчета точки С2и С2 звеньев 2 и 3 движутся одинаково, постоянно совпадая с центром шарнира С. Расстояния ВС2= ВС и DC3=DC при этом не изменяются.

Подставляя в выражение (2.7) для звена2 a C2 C , e B и r CB , а для звена 3 - a C3 C , e D , r CD , получаем систему уравнений

C2 C B CB , C3 C D CD ,

в которых известны B и D ,а неизвестны величина и направление C , а также величины векторов CB CB и CD CD . Такую систему уравнений можно решить

графически.

Для этого из произвольной точки Рv, названной полюсом плана скоростей, откладываем в удобном масштабе векторы B и D ,а через их концы bиd проводим прямые, параллельные относительным скоростям CB и CD ,т. е. перпендикулярные отрезкам СВ и CD (рис. 2.6,б). Точка с пересечения этих прямых будет являться концом вектора C , начало которого лежит в полюсе плана Рv. Относительные скорости CB и CD будут представлены векторами bc и dc .

16

Величины нормальных составляющих определяют с помощью выражений

n 2 и n 2 , в которые подставляются и ,найденные из плана ско-

aCB CB aCD CD CB CD

CB CD

ростей. После определения нормальных составляющих систему (2.14) можно решить графически. Для этого из произвольно взятой точки Ра - полюса плана ускорений - откладываем в удобном масштабе векторы aB и aD , затем пристраиваем

в точках b и d векторы aCBn и aCDn , а через концы n1 и n2 последних проводим прямые, параллельные aCBt и aCDt (рис. 2.6,в). Точка пересечения с этих прямых и будет являться концом вектора aC , начало которого лежит в полюсе плана Ра, а также концом каждого из векторов aCBt и aCDt ,начинающихся в точках n1 и n2.

Для нахождения ускорений aS2 и aS3 снова воспользуемся правилом подобия: план ускорений звена подобен самому звену и повернут по отношению к

нему на угол v (aa , arn ) . Поэтому для построения точек s2 и s3 остаются справед-

ливыми пропорции (2.13). Эти точки находят после проведения отрезков bc и dc. Вся совокупность выполненных построений называется планом ускорений группы.

Теперь на примере структурной группы 3-го вида (рис. 2.7,а) рассмотрим более общий случай. Звенья 2 и 3такой группы образуют друг с другом поступательную пару, и поворот одного из них влечет за собой поворот другого. Кроме того, совпадающие в данный момент с точкой С точки С2, и С3 движутся поразному, т. е. имеют различные скорости и ускорения. Расхождение точек C2 и С3 по прямой будем считать относительным движением, а вращение звеньев группы с угловой скоростью e 2 3 - переносным.

К точке В потребуется подойти так же, как и к точке С, т. е. считать, что в точке В помимо реальной точки В2, принадлежащей звену 2, находится воображаемая точка В3, принадлежащая звену 3.

Для простоты положим, что звено 3 вращается вокруг неподвижной точки D, т. е. D 0 и aD 0 , с известной в данный момент угловой скоростью 3. За-

18

Для нахождения точек s2 и s3 и векторов S2 и S3 снова используем правило по-

добия и отношения (2.13), в которых b нужно заменить на b2, а с- на c2 или c3 и учесть, что точка d совпадает с полюсом Рv.

Помимо этого на плане скоростей группы нужно изобразить уже известный вектор B3 и найти относительную скорость B2 B3 ||CD, которая потребуется в даль-

нейшем. Если все построения верны, то в соответствии с правилом подобия

db3c3 ~ DBC.

Рис. 2.7

Для определения ускорений используем формулы (2.8) - (2.10), которые позволяют получить необходимые системы уравнений. Так, для точки В2

Отложив из полюса Ра в удобном масштабе известные векторы aB aB2 и

a nB3D

19

(рис. 2.7,в), пристраиваем концом к точке b2 вектор a kB2 B3 , через его начало проводим прямую, параллельную a kB2 B3 ||CD, а через конец вектора a nB3D -точку п - прямую, параллельную atB3D . Пересечение этих прямых дает нам точку b3-конец вектора a B3 .

Для нахождения ускорения a C3 точки С3 используем правило подобия, построив на отрезке db3 (здесь точка dсовпадает с полюсом плана Ра) как на стороне и двум примыкающим к ней углам треугольник db3c3, подобный треугольнику

DBC.

Теперь можно решить такую систему уравнений:

aC2 aC3 aCr 2C3 aCk 2C3 ; aC2 a B2 aCn 2 B2 atC2 B2 , где aCk 2C3 2 3 C2C3 и aCn2 B2 32 BC .

Отложив из найденной предыдущим построением точки С3 вектор aCk 2C3 , проведем через его конец прямую, параллельную aCr 2C3 ||CD. Затем, отложив из точки b2 вектор aCn 2 B2 ||ВС, проведем через его конец прямую, параллельную atC2 B2 ( ВС). Пересечение указанных прямых дает нам точку С2 - конец вектора a C2 . Точки s2 и s3, определяющие концы векторов a S2 и a S3 , находим по правилу подобия пропорциональным делением отрезков b2c2 и c3d.

2.6.1. Передаточная функция

Пусть при кинематическом анализе кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.18а) мы исследуем движение ползуна B. При движении от нижнего положения график его скорости будет иметь вид, показанный на рис. 2.18б.

У этой функции есть две характеристики: её форма и её размах vBm. Форма зависит от сочетания размеров механизма, то есть от его внутренних свойств. А размах – от величины угловой скорости входного кривошипа 1, то есть от внешнего сигнала. При решении очень многих задач, и не только в механике,

20