52. Нумерация алгоритмов. Нумерация машин Тьюринга. Существование невычислимых по Тьюрингу функций.

Множество всех алгоритмов счетно. Ведь любой алгоритм можно задать конечным описанием, а множество всех конечных слов в фиксированном алфавите счетно. Счетность множества алгоритмов означает наличие взаимно-однозначного соответствия между алгоритмами и числами натурального ряда, т.е. функции типа , взаимно-однозначно отображающей слова в алфавите, выбранном для описания алгоритмов в числа натурального ряда. Такая функцияназывается нумерацией алгоритмов, а ее аргумент- номером алгоритмапри нумерации. 

Для формального анализа различных проблем, связанных с машинами Тьюринга, удобно каждой машине присвоить числовой номер – целое положительное число. Способ Геделя основан на том, что, как известно из арифметики, любое целое положительное число A можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей в виде:

Здесь -i-й простой множитель числа А; ni – степень, с которой данный множитель входит в разложение числа А

Теперь посмотрим, как получить геделевский номер машины Тьюринга. Такая машина задана своими правилами. Каждое правило можно представить как строку символов

Мы уже знаем, как читать такую строку: если машина находится в состоянии Q_i и читает символ S_j, то она переходит в состояние Q_k , записывает символ S_z вместо S_j и выполняет действие A={оставить ленту на месте; сдвинуть ленту влево на одну ячейку; сдвинуть ленту вправо на одну ячейку}.

Проблема остановки имеет следующую формулировку: найти алгоритм, позволяющий по номеру машины Тьюринга и произвольной конфигурации определить, придет ли данная машина в заключительное состояние, начав работать в этой конфигурации.

Проблема самоприменимости является частным случаем проблемы остановки и заключается в том, чтобы определить, применима ли машина к своему номеру.

53. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем.

Проблема остановки имеет следующую формулировку: найти алгоритм, позволяющий по номеру машины Тьюринга и произвольной конфигурации определить, придет ли данная машина в заключительное состояние, начав работать в этой конфигурации.

Проблема самоприменимости является частным случаем проблемы остановки и заключается в том, чтобы определить, применима ли машина к своему номеру. Проблема эквивалентности алгоритмов; По двум произвольным заданным алгоритмам (например, по двум машинам Тьюринга) определить, будут ли они выдавать одинаковые выходные результаты на любых исходных данных.

54. Меры сложности алгоритмов. Временная и емкостная сложность. Переборные и распознавательные задачи.

сложность алгоритма – количество необходимых для решения задачи ресурсов как функция от ее размера.

Рассмотрим некоторые из них:

1. Временная сложность алгоритма – «время» выполнения алгоритма, измеряемое в «шагах» (инструкциях алгоритма, которые необходимо выполнить для достижения результата)

2. Емкостная сложность алгоритма – необходимый для работы алгоритма объём памяти машины.

3. Схемная сложность алгоритма – минимальный размер схемы из функциональных элементов, вычисляющей заданную (булеву) функцию .

4. Коммуникационная сложность алгоритма – минимальное число бит, которыми нужно обменяться участникам вычисления некоторой функции .

В дальнейшем будем подробно рассматривать вычисление временной сложности алгоритмов. Этот критерий является важным, но не единственным при оценке эффективности алгоритмов. Например, в силу следующих соображений

1. Эффективный по времени алгоритм может быть неэффективным по объему памяти.

2. Эффективные по времени, но сложные алгоритмы нежелательны, если готовые программы будут поддерживать лица, не участвовавшие в их написании.

3. В численных алгоритмах точность и устойчивость не менее важны, чем их временная эффективность.

4. Если программа будет использована только несколько раз, стоимость её написания превосходит стоимость времени ее выполнения. Финансово более выгоден алгоритм простой в реализации.

Переборная задача характеризуется экспоненциальным множеством вариантов, среди которых нужно найти решение, и может быть решена алгоритмом полного перебора. Переборный алгоритм имеет экспоненциальную сложность и может хорошо работать только для небольших размеров задачи. С ростом размера задачи число вариантов быстро растет, и задача становится практически неразрешимой методом перебора.

распознавательные задачи – задачи, имеющие распознавательную форму. В распознавательной форме суть задачи сводится к распознаванию некоторого свойства, а ее решение – один из двух ответов: «да» или «нет». С точки зрения математической логики задаче распознавания свойства соответствует предикат Р(х), где х – множество фактических значений входных переменных задачи.