Выводимость в ип:

Определение. Выводом формулы A из совокупности формул H называется последовательность формул A1, A2, ..., An, удовлетворяющая условиям:

1) A = An;

2) Всякая формула последовательности AI либо доказуема, либо взята из H, либо получена из предыдущих формул последовательности AI по одному из правил выводимости. Формула A называется выводимой из H (обозначается это так: H |- A), если существует вывод этой формулы из H.

Например, A→(B→C) |- B→(A→C) – правило перестановки посылок,

A→(B→C) |- A ∧ B→C – правило соединения посылок,

A ∧ B→C |- A→(B→C) – правило разъединения посылок.

Теорема о дедукции. Если Г U {φ,ψ} – мн-во формул ИП, то из Г,φ-|ψ следует Г-| φ→ψ.

33. Эквивалентные формулы в ИП. Приведенные и нормальные формы формул в ИП. Теорема о существовании нормальной формулы в ИП.

ИП выполнимы все эквивалентности ИВ из теоремы 3.

1) A∧A≡A, A∨A≡A (законы идемпотентности);

2) A∧B≡B∧A, A∨B≡B∨ A (законы коммутативности);

3) (A∧B)∧C≡A∧(B∧C), (A∨B)∨C≡A∨(B∨C) (законы ассоциативности);

4) A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C), A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) (законы дистрибутивности);

5) ¬(A∧B)≡¬A∨¬B, ¬(A∨B)≡¬A∧¬B (законы де Моргана);

6) ¬¬A≡A (закон двойного отрицания);

7) A→B≡¬A∨B;

8) ⊢A∨¬A.

Утверждение 3. Пусть A, B – формулы ИП переменная x не является свободной переменной формулы B, переменная у не является свободной переменной формулы A. Тогда

1) ¬xA≡x¬A, 1΄) ¬xA≡x¬A,

2) x(A∧B)≡xA∧B, 2΄) x(A∨B)≡xA∨B,

3) x(A∨B)≡xA∨B, 3΄) x(A∧B)≡xA∧B,

4) xA≡x(A) 4΄)xA≡x(A)

Формула имеет нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкции (и), дизъюнкции (или) и кванторные операции ( , ), а операция отрицания отнесена к элементарным формулам. Теорема. Всякая формула ИП может быть приведена к нормальной форме.

34. Дедуктивная эквивалентность. Связь эквивалентности и дедуктивной эквивалентности.

Теорема 1 (о дедукции). Пусть φ₁,…,φ_m,φ,ψ – формулы ИП^Σ. Тогда φ₁,…,φ_m,φ⊢ψ φ₁,…,φ_m,⊢φ→ψ.

Следствие 2. Пусть φ и ψ ‑ формулы ИП^Σ. Следующие условия эквивалентны:

1. φ≡ψ;

2. φ⊢ψ и ψ⊢φ.

Два выражения А и В дедуктивно эквиваленты по отношению друг к другу, когда возможно вывести В из А (если принято А) и наоборот, А из В (если принято В).

Обычная эквивалентность не составляет необходимой основы дедуктивной эквивалентности. Если имеется положение QAB то верно, что A дедуктивно эквивалентно B относительно QAB, но если A дедуктивно эквивалентно B относительно определенных положений, то не всегда верно, что имеет место положение QAB.

Q- обычное отношение эквивалентности

35. Проблемы ИП (непротиворечивости, полнота в узком смысле, полнота в широком смысле).

Проблема непротиворечивости исчисления предикатов заключена в доказательстве невыводимости формулы и ее отрицания. Исчисление предикатов непротиворечиво, т. к. каждая доказуемая формула является тождественно истинной формулой. Тогда ее отрицание является тождественно ложной формулой и при доказательстве в исчислении предикатов ведет к противоречию.

Логика называется полной(в широком смысле), если в ней выводимо все, что истинно. Теорема о полноте исчислений предикатов полна.

Логическая система называется полной в узком смысле, если нельзя без противоречия присоединить к ее аксиомам в качестве новой аксиомы никакую не выводимую в ней формулу так, чтобы полученная при этом система, была непротиворечива.

Теорема Гёделя о неполноте. Во всякой достаточно богатой теории существует такая истинная формула, что ни она, ни её отрицание не выводимо в этой теории.