- •Алгоритм приведения к сднф:
- •Правила вывода
- •Символы логики предикатов
- •Кванторы всеобщности и существования. Свободные и связные переменные лп.
- •Равносильные и приведенные формулы лп. Теорема о существовании приведенной формулы.
- •Выводимость в ип:
- •Логические основы эвм. Простейшие преобразователи информации. Структурная формула. Функциональная схема.
- •Свойства нечетких множеств
- •Алгоритм — это упорядоченный набор однозначных выполнимых шагов.
- •Свойства:
- •Теорема. Всякая частично рекурсивная функция f является вычислимой функцией.
- •Определение алгоритма применимого к слову. Определение алгоритма над алфавитом. Простая и заключительная подстановки в теории нормальных алгоритмов Маркова. Схема алгоритма.
- •Нумерация алгоритмов. Нумерация машин Тьюринга. Существование невычислимых по Тьюрингу функций.
- •Примеры алгоритмически неразрешимых проблем.
Символы логики предикатов
Ω- некоторое мн-во предикатов
а) х, у, z, ..., а также с числовыми индексами (x1, x2, ..., xn) – предметные переменные. б) a, b, с, ..., а также a1, a2, ..., ап – предметные константы (аналоги собственных имен естественного языка);
будем обозначать переменные, принимающие значения 1 и 0. Их мы назовем переменными высказываниями.
Выражения
обозначают предикаты, т.е. функции, аргументы которых принимают значения из области , а сами функции могут принимать только два значения: 1 и 0. Их мы будем называть переменными предикатами.
г) F(a_,G(a,b) – переменные предикаты;
д) логические константы:
е)
(,) – технические знаки (скобки, запятые и пр.);
-
Кванторы всеобщности и существования. Свободные и связные переменные лп.
Квантор всеобщности. Пусть R(x) – вполне определенный предикат, принимающий значение 1 или 0 для каждого элемента x некоторой области . Тогда под выражением
мы будем подразумевать высказывание истинное, когда R(x) истинно для каждого элемента x области , и ложно в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение будет: «для всякого x R(x) истинно». Символ называется квантором всеобщности.
Квантор существования. Пусть R(x) – некоторый предикат. Мы свяжем с ним формулу
,
определив ее значение как истину, если существует области , для которого R(x) истинно, и как ложь в противном случае. Знак называется квантором существования.
Кванторы и относятся к переменной x или что переменная x связана соответствующим квантором.
Предметную переменную, не связанную никаким квантором, мы будем называть свободной переменной.
-
Равносильные и приведенные формулы лп. Теорема о существовании приведенной формулы.
Если две формулы и , отнесенные к некоторой области , при всех заменах переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определенными на , индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из принимают одинаковые значения 1 или 0, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на области .
Если две формулы равносильны на любых областях , то мы их будем называть просто равносильными.
Для каждой формулы существует равносильная ей приведенная формула.
ВСЕ равносильности, имеющие место в АВ переносятся на ЛП. к ним добавляются равносильности, связанные с кванторами.
-
Нормальные формулы и нормальные формы. Теорема о существовании нормальной формулы.
Приведенная формула называется нормальной, если она не содержит кванторов или если при образовании ее из элементарных формул операции связывания квантором следуют за всеми операциями алгебры высказываний.
В записи нормальной формулы кванторы, если они есть, предшествуют всем остальным логическим символам. Например, приведенная формула
нормальна, если не содержит кванторов.
Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей нормальная формула.
-
Проблема разрешения в ЛП. Выполнимые, тождественно истинные для некоторой области Ω, тождественно истинные, невыполнимые формулы ЛП.
ПРОБЛЕМА РАЗРЕШЕНИЯ ЛП неразрешима (найти алгоритм, который бы принимал в качестве входных данных описание любой проблемы разрешимости — и, после конечного числа шагов, останавливался бы и выдавал один из двух ответов: «Истина!» или «Ложь!», — в зависимости от того, истинно или ложно утверждение. Ответ не требует обоснований, но должен быть верным.) - доказал А.Черч (т.е. установил, что искомый алгоритм не возможен).
Формула логики предикатов называется ВЫПОЛНИМОЙ, если она истинна для некоторой области Ω и некоторых предикатов, на ней определенных.
Формула логики предикатов называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННОЙ ДЛЯ ОБЛАСТИ Ω, если она истинна для данной области Ω и для всех предикатов, на ней определенных.
Формула логики предикатов называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННОЙ или просто истинной, если она истинна для всякой области Ω и для всяких предикатов.
Формула называется ложной или НЕВЫПОЛНИМОЙ, если ни для какой области ни при каких заменах предикатов не является истинной.
-
Решение проблемы разрешения для логики предикатов с одной переменной.
Теорема: Если формула ЛП, содержит только предикат от одной переменной, выполнимый на некоторой области Ω, то она выполнима на области Ω, содержащей не более 2^n (2 в степени n) элементов, где n - число предикатов, входящих в рассматриваемую формулу.
Следствие: Если формула а(альфа), содержит только предикаты, зависящие от 1ой переменной, яв-ся тождественно истинной для всякой области не превышающей 2^n (2 в степени n) элементов, где n - число предикатов a(альфа), то a(альфа) - тождественно истинна.
-
Описание исчисления предикатов (ИП). Символы ИВ. Формулы ИВ. Части формул ИВ.
ИП - Все методы и результаты ИВ можно перенести на ИП.
СИМВОЛЫ логики предикатов:
-
- переменные предметы
-
A,B,C..X переменные высказывания, принимающие значения 1 и 0
-
- переменные предикаты
-
- логические связки
-
() - скобки;
-
и - кванторы.
Определение формулы представляет собой следующую рекурсию:
-
Каждое переменное высказывание есть формула.
-
Каждый переменный предикат есть формула.
-
Если – формула, а x – предметная переменная, то и – формулы.
-
Если и – формулы, то , , , – формулами.
-
Никаких формул, кроме построенных по пп. 1-4 нет.
ФОРМУЛА ИП:
1)переменное высказывание есть формула.
2)F – символьный переменный предикат, a1...ai – символьная предметная переменная, то F(a1...ai) - формула,
3)если а(альфа) содержит СВОБОДНУЮ ПЕРЕМЕННУЮ x, то Vxа(x) и Эxа(x)–формулы, где х - СВЯЗАННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ.
Все ф-лы ИВ - ф-лы ИП.
ЧАСТИ формулы:
1)частью каждой элементарной формулы является только она сама.
2)частью ф-лы Vxа (или Эxа, где а - альфа) является она сама и всякая часть ф-лы а(альфа).
3)частями формул a&b, avb, a->b являются сами формулы и все части формул a и b. 4)частью ф-лы (not a(альфа)) является она сама и все части ф-лы а.
-
Кванторы ИП. Область действие квантора в ИП. Коллизия переменных в ИП.
a-альфа: пусть Vxа (соответсвенно и Эxа) наз-ся формула а.
ОБЛАСТЬ ДЕЙСТВИЯ КВАНТОРА - ближайшая формула.
Условия получения ф-л:
1)в формуле свободные и связанные переменные обозначаются разными буквами; 2)если к.-л. квантор нах-ся в области действия другого квантора, то переменные, связанные этими кванторами обозначаются разными буквами.
КОЛЛИЗИЯ переменных в ИП - нарушение пунктов 1) и 2).
пример1: Vx(F(x)->ЭxG(x,y)) - это НЕ формула.
пример2: VxF(x)->ЭxG(x,y) - формула.
-
Аксиомы ИП.
Аксиомами ИП являются следующие формулы для любых формул φ, ψ, χ ИПΣ, любых переменных x,y,z и любого терма t:
1) A→(B→A);
2) A→(B→C) → ((A→B)→(A→C))
3) (A∧B)→A;
4) (A∧B)→B;
5) (A→B)→((A→C)→(A→(B∧C)));
6) A→(A∨B);
7) B→(A∨B);
8) (A→C)→((B→C)→((A∨B)→C));
9) (A→B)→(¬A→¬B)
10) 1→¬A
11) ¬A→A
12) → F(y);
13) F(y) →
-
Правила образования выводимых формул в ИП (Правила заключения; подстановки в переменное высказывание и переменный предикат; замены свободной предметной переменной; переименования связанных предметных переменных; связывание квантором).
Правило образования выводимых формул:
a-альфа, b-бета.
1)ПРАВИЛО ЗАКЛЮЧЕНИЯ: Если а и a->b - выводимые формулы ИВ, то b - также выводимая формула: ((a,a->b)/?);
2)ПРАВИЛО ПОДСТАНОВКИ в переменное высказывание и переменный предикат: а)замена переменного ВЫСКАЗЫВАНИЯ: пусть а (альфа) содержит переменное высказывание А, тогда мы можем заменить в формуле а букву А всюду, где где она входит любой формулой b (бета), удовлетв. след условиям: 1)свободные переменные в b обозначены буквами, отличными от связанных переменных в a; 2)если А в a нах-ся в области действия квантора, обозначенного к.-л. буквой, то эта буква не входит в b. Такая подстановка называется заменой переменной в b на A. б)замена переменного ПРЕДИКАТА: пусть ф-ла а содержит предикат F(n), перем. b(t1,t2,...tn), ti - свободн. перем., где i изменяется от 1 до n. t1,t2,...,tn -отличны от всех предметных переменных в а. Если для ф-лы b соблюдаются условие 1) и 2) (см. выше) и если F в а нах-ся в обл-и действия квантора, связывающего к.-л. букву, то эта буква не входит в b, то возможна подстановка ф-лы b(бета) в а(альфа) вместо предиката F.
3)ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ свободной предметной переменной: а(альфа)-выводимая ф-ла в ИП. а’ получается из а заменой любой свободн. предметной переменной другой свободн. предметной переменной, так что заменяемая переменная заменяется одинаковым образом всюду, где она входит в формулу а, тогда а' - тоже выводимая формула в ИП.
4)ПРАВИЛО ПЕРЕИМЕНОВАНИЯ связанных предметных переменных: если а выв-я в ИП то ф-ла а’ полученная из а заменой связанных предметных другими связанными переменными, отличными от всех свободных предм. переменных в а, то a' также является выводимой формулой в ИП.
5)ПРАВИЛО СВЯЗЫВАНИЯ квантором: 1)если b->а(х) – выв ф-ла в ИП и b не содержит свободн. переменной х, то b->Vxf(х) - выводимая ф-ла в ИП; 2)если а(х)->b выв ф-ла в ИП и b не содержит своб переменной х, то Эxа(х)->b - выводимая ф-ла в ИП.
Примечание:1)среди выв-х ф-л в ИП нах-ся все выв-е ф-лы ИВ; 2)всякая ф-ла выведенная из аксиом по прав-м ИП явл-ся тожд истинной ф-лой.
-
Непротиворечивость ИП.
Исчисление называется противоречивым если выводима ф-ла и её отрицание.
теорема: ИП НЕПРОТИВОРЕЧИВО.
Док-во: Все предикаты определены на нек-ой обл-ти Ω. Если Ω состоит из одного эл-та, то все ф-лы ИП можно рассматривать как ИВ. Все аксиомы ИП будут выводимыми ф-ми ИВ, правила ИП -> правила ИВ. Если в ИП ф-ла выводима, то в преобразованной системе она также была бы выводимой, но преобразованная система является ИВ, которая непротиворечива.
-
Определение выводимости формул из набора формул в ИП. Теорема дедукции.
Формула, полученная подстановкой в тавтологию ИВ, доказуема в ИП.