Математическая логика ^ ^

1

1. Природа математической логики. Формальная логика. Основные формы мышления (понятие, высказывание, умозаключение). Простые и сложные высказывания. Основные законы формальной логики.

Мат. логика - это наука о средствах и методах мат. доказательств. Мат.логика изучает принципы построения мат. теорий. Предметом мат.логики яв-ся рассуждение.

Формальная логика — наука, изучающая формы мысли — понятия, суждения, умозаключения, доказательства — со стороны их логической структуры.

Алфавит форм. логики состоит из заглавных латинских букв (A,B,C,...) и связок (операторов).

Основные формы мышления:

• ПОНЯТИЕ - слова и словосочетания, которые описывают существ. признаки предмета.

• ВЫСКАЗЫВАНИЕ - повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

• УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ - процесс получения или обоснования новых утверждений из исходных. Исходные утверждения наз-ся ПОСЫЛКАМИ (нач. данными или исходными условиями), а заключит. утверждение - ВЫВОДОМ или заключением.

Простые высказывания не содержат в своем составе других высказываний, а сложные – состоят из нескольких простых высказываний.

3 основных ЗАКОНА форм. логики:

• ТОЖДЕСТВА - в процессе опред. рассуждения всякое понятие и высказывание должны быть тождественны самим себе. А=А

• НЕПРОТИВОРЕЧИЯ - невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. A ⋀ ¬A=0

• ИСКЛЮЧЕННОГО ЛИШНЕГО - из 2х противоречивых высказываний одно истинно, другое - ложно, а третьего не дано. A ⋁ ¬A=1

2. Понятие и структура аксиоматических систем.

Аксиоматическая система — любой набор аксиом, из которого некоторые или все аксиомы могут быть в совокупности использованы для логического вывода теорем данной теории.

В них, в явном, не явном или, даже, скрытом виде всегда содержатся три компонента: аксиомы (постулаты) - утверждения, которые предлагается принять без доказательств; теоремы - строгие определения объектов исключительно для целей этой теории (рассуждения, высказывания); правила вывода формул (теорем) - обычно - это всем привычные, часто бессознательно употребляемые логические конструкции.

Это должен быть набор аксиом (постулатов), принимаемых нами без доказательств, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1. Независимость (любую из принятых аксиом нельзя вывести из остальных, так, что выведенная из других аксиома является не аксиомой, а теоремой)

2. Непротиворечивость (система аксиом не порождает противоречащих друг другу утверждений, то есть, ни из какой аксиомы не следует утверждение и его отрицание)

3. Полнота (систему нельзя дополнить независимым от уже принятых аксиом утверждением, то есть никакая дополнительная аксиома не может быть выведена из уже имеющихся).

3. Понятие и структура формальных систем.

ТЕОРЕМА ФС:

1. аксиома ФС - теорема ФС.

2. если все посылки некоторого правила ФС яв-ся теоремами ФС, то заключение этого правила яв-ся теорема системы.

4. Основные логические операции алгебры высказываний (АВ). Пропозиционная переменная. Постоянные и переменные высказывания АВ.

Для обозначения простых высказываний используют большие латинские буквы A, B, …, а для их значений – 1 (истина) и 0 (ложь). Переменные A, B,… называют ПОПОЗИЦИОННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ (propositio – предложение-высказывание).

Символы 0 и 1 - логические константы (ПОСТОЯННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ АВ), латинские буквы A, B, C, … – логические переменные (ПЕРЕМЕННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ АВ).

ЛОГИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ называется способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Основные логические операции:

Порядок приоритетности логических операций: 1) инверсия, 2) конъюнкция; 3) дизъюнкция; 4) импликация и эквивалентность. Для изменения порядка действий, используются скобки.

5. Определение формулы АВ. Равносильность формул. Важнейшие примеры равносильных формул.

ФОРМУЛОЙ АВ называется выражение, составленное по определенным правилам из пропозиционных переменных, логических связок и скобок.

1. Пропозициональная переменная является формулой.

2. Если А формула, то тоже формула.

3. Если A и B формулы, то (AB), (AB), (AB) тоже формулы.

4. Никаких других формул нет.

Две формулы  и  называются равносильными (=), если при любых значениях , где – совокупность всех переменных, входящих в  и , эти формулы принимают одинаковые значения.

6. Двойственные операции и двойственные формулы АВ. Закон двойственности.

Будем говорить, что операция & двойственная операции  и наоборот.

Формулы и называются двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную.

Закон двойственности. Если формулы  и  равносильны, то двойственные им формулы и также равносильны.

Пример. Найти формулу двойственную формуле .

Решение. Для этого по определению следует заменить операции на двойственные. Тогда получим, что двойственной будет формула

7. Тождественно истинные, выполнимые и невыполнимые формулы АВ.

ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННАЯ формула - если она при всех значениях входимых в нее переменных высказываний принимает значение 1. пример: X\/(¬X).

ВЫПОЛНИМАЯ формула - если она принимает значение 1 при некоторых значениях входящих в нее переменных высказываний. пример: X.

НЕВЫПОЛНИМАЯ формула (тождественно ложная) - если она при всех значениях входящих в нее переменных высказываний принимает значение 0. пример: X\/(¬X).

8. Проблема разрешения в алгебре высказываний. Элементарные произведения и суммы. Теорема о тождественной истинности элементарной суммы. Теорема о тождественной ложности элементарного произведения.

Проблемой разрешения для алгебры высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, позволяющий для произвольной логической формулы в конечное число шагов выяснить, является ли она тождественно истинной (или тождественно ложной)?

Элементарной дизъюнкцией (суммой) называется дизъюнкция (сумма) логических переменных и их отрицаний. Например, – элементарная дизъюнкция.

Элементарной конъюнкцией (произведений) называется конъюнкция (произведение) логических переменных и их отрицаний. Например, .

ТЕОРЕМА о тождественной истинности элемент. суммы: чтобы элементарная сумма была истинной, необходимо чтобы в ней содержалась хотя бы одна пара слагаемых, из которых одно есть некоторая переменная, а другое - ее отрицание.

ТЕОРЕМА о тождественной ложности элементарного произведения: чтобы элементарное произведение было тождественно ложным необходимо, чтобы в нем содержалось хотя бы одна пара множителей, из которых один является отрицанием другого.

9. КНФ и ДНФ. Преобразования формул алгебры высказываний к КНФ и ДНФ. Теорема о существовании КНФ и ДНФ формулы алгебры высказываний.

КНФ (конъюнктивная нормальная форма) - формула, представляющая собой произведение элементарных сумм (или конъюнкция элементарных дизъюнкций). пример: (X\/(¬X))&(Y\/Z\/W)

ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма) - формула, представляющая собой сумму элементарных произведений (или дизъюнкцию элементарных конъюкций). пример: (X&(¬X))\/(Y&Z&W).

10. Критерии тождественной истинности и ложности формул алгебры высказываний.

Критерий тождественной истинности формулы

Для того, чтобы формула была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы каждый множитель ее КНФ имел по крайней мере два слагаемых, из которых одно является какой-нибудь переменной, а другое – ее отрицанием.

Критерий тождественной ложности формулы

Для того, чтобы формула была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы каждое слагаемое ее ДНФ имел по крайней мере два множителя, из которых один является какой-нибудь переменной, а другой – ее отрицанием.

11. СКНФ и СДНФ. Преобразование формул алгебры высказываний к СКНФ и СДНФ, используя равносильности алгебры высказываний.

Совершенной ДНФ (СДНФ) формулы , содержащей n различных переменных, называется ДНФ, обладающая следующими свойствами:

1. в ней нет двух одинаковых слагаемых;

2. ни одно слагаемое не содержит двух одинаковых множителей;

3. никакое слагаемое не содержит переменной вместе с ее отрицанием;

4. в каждом слагаемом содержится в качестве множителей либо переменная , либо ее отрицание, где .

Совершенной КНФ (СКНФ) формулы , содержащей n различных переменных, называется КНФ, обладающая следующими свойствами:

1. в ней нет двух одинаковых множителей;

2. ни один множитель не содержит двух одинаковых слагаемых;

3. ни один множитель не содержит переменной вместе с ее отрицанием;

4. каждый множитель содержит в качестве слагаемого либо переменную , либо ее отрицание, где .

Алгоритм приведения к сднф:

1. Приводим формулу к ДНФ.

2. Если в конъюнкт входит переменная вместе со своим отрицанием, то этот конъюнкт удаляют из ДНФ.

3. Если в конъюнкт одна переменная входит несколько раз, то удаляют все такие переменные кроме одной.

4. Если в некоторый конъюнкт вида  не входит переменная y, которая встречается в формуле, то его заменяют конъюнктом вида , затем, применяя дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции приводят формулу к ДНФ.

5. Если в полученной ДНФ имеется несколько одинаковых конституант единицы, то повторяющиеся конституанты удаляют, оставляя одну.

Аналогично построен алгоритм нахождения СКНФ.

12. СКНФ и СДНФ. Получение СКНФ и СДНФ формулы алгебры высказывания при помощи таблицы истинности.

Совершенной ДНФ (СДНФ) формулы , содержащей n различных переменных, называется ДНФ, обладающая следующими свойствами:

1. в ней нет двух одинаковых слагаемых;

2. ни одно слагаемое не содержит двух одинаковых множителей;

3. никакое слагаемое не содержит переменной вместе с ее отрицанием;

4. в каждом слагаемом содержится в качестве множителей либо переменная , либо ее отрицание, где .

Совершенной КНФ (СКНФ) формулы , содержащей n различных переменных, называется КНФ, обладающая следующими свойствами:

1. в ней нет двух одинаковых множителей;

2. ни один множитель не содержит двух одинаковых слагаемых;

3. ни один множитель не содержит переменной вместе с ее отрицанием;

4. каждый множитель содержит в качестве слагаемого либо переменную , либо ее отрицание, где .

Для нахождения СДНФ по таблице истинности выбирают все встречающиеся в ней 1 и рассматривают наборы значений переменных, эквивалентные этим единицам. При этом СДНФ всегда содержит столько слагаемых, сколько единиц имеет таблица истинности. Переменная входит в конъюнкт без отрицания, если в таблице ей соответствует значение 1, иначе – 0.

Аналогично построен алгоритм нахождения СКНФ.

13. Описание исчисления высказываний (ИВ). Символы ИВ. Формулы ИВ. Элементарные формулы ИВ, части формул ИВ.

Исчисление высказываний  это новая логическая система, которая адекватна алгебре высказываний, но здесь мы не будем рассматривать закон исключения третьего. Сами законы нас будут интересовать только в смысле выводимости. Т.е. мы будем себе ставить задачу обосновать тот или иной закон, показав, что пользование им не приведет к противоречию.

Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий.

1. Большие латинские буквы . Эти символы мы будем называть переменными высказываниями.

2. Логические связки: &  знак конъюнкции (или логического умножения);  дизъюнкции (или логического сложения);  импликации (или логического следования) и  знак отрицания.

3. Скобки: ( ).

В исчислении высказываний определение формулы представляет собой следующую рекурсию:

1. Переменное высказывание есть формула.

2. Если и  формулы, то слова , , и  также формулы.

Переменные высказывания называются также элементарными формулами.

Определение части формулы представляет собой следующую рекурсию:

1. Частью каждой элементарной формулы является только она сама.

2. Если определены все части формул и , то частями формулы () будут все части формул и и сама формула. Аналогично определяются части формул , и .

14. Выводимые формулы ИВ. Аксиомы ИВ.

В исчислении высказываний можно выделить некоторый класс формул, которые мы будем называть выводимыми в исчислении высказываний.

Правила, позволяющие из имеющихся выводимых формул получать новые, мы будем называть правилами вывода, а исходные выводимые формулы – аксиомами.

15. Правила вывода формул в ИВ (подстановки и заключения).

В ИВ можно выделить некоторый класс формул, которые мы будем называть выводимыми в ИВ. Правила, позволяющие из имеющихся выводимых формул получать новые, мы будем называть ПРАВИЛАМИ ВЫВОДА, а исходные выводимые формулы – аксиомами.