- •21. Основные законы распределения случайной величины. Равномерное биноминальное распределение пуассона показательное . Нормальный закон распределения.
- •22. Математическая статистика. Освновные понятия. Генеральная и выборочная совокупности. Частота и относительная частота.
- •23. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
- •24. Полигон частот. Гистограмма. Выборочное среднее. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
- •25. Статистическое оценивание и проверка гипотез. Статистические оценки и их свойства. Метод максимального правдоподобия.
- •27. Доверительные интервалы.
- •Определение
- •[Править]Примеры
- •28. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Уровень значимости и мощность критерия.
- •Методика проверки статистических гипотез
- •Альтернативная методика на основе достигаемого уровня значимости
- •Типы критической области
- •Ошибки первого и второго рода
- •Свойства статистических критериев
- •Типы статистических гипотез
- •Типы статистических критериев
- •Критерии согласия
- •Критерии сдвига
- •Критерии нормальности
- •29. Статистические методы обработки эксперементальных данных. Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных.
- •30. Выравнивание эксперементальных данных с помощью различных законов распределения. (Равномерного нормального распределения пуассона.)
- •31. Критерий согласия пирсона.
27. Доверительные интервалы.
Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман (Neyman J.), исходя из идей английского статистика Р. Фишера (Fisher R.).[ссылка 1]
Определение
Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%[примечание 1], порождённым выборкой (x1,…,xn), называется интервал с границами l(x1,…,xn) и u(x1,…,xn), которые являются реализациями случайных величин L(X1,…,Xn) и U(X1,…,Xn), таких, что
.
Граничные точки доверительного интервала l и u называются доверительными пределами.
Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ.[ссылка 2]
[Править]Примеры
-
Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки;
-
Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.
28. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Уровень значимости и мощность критерия.
Статистическая гипотеза (statistical hypothesys) — это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.
Проверка статистической гипотезы (testing statistical hypotheses) — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных.
Статистический тест или статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергаетсястатистическая гипотеза.
Методика проверки статистических гипотез
Пусть задана случайная выборка — последовательность объектов из множества . Предполагается, что на множестве существует некоторая неизвестная вероятностная мера .
Методика состоит в следующем.
-
Формулируется нулевая гипотеза о распределении вероятностей на множестве . Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что означает «не ». Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив. В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей. Примеры приводятся ниже.
-
Задаётся некоторая статистика (функция выборки) , для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения . Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Есть целый ряд требований, которым должна удовлетворять «хорошая» статистика . Вывод функции распределения при заданных и является строгой математической задачей, которая решается методами теории вероятностей; в справочниках приводятся готовые формулы для ; в статистических пакетах имеются готовые вычислительные процедуры.
-
Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число . На практике часто полагают .
-
На множестве допустимых значений статистики выделяется критическое множество наименее вероятных значений статистики , такое, что . Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.
-
Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:
-
если , то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости ». Гипотеза отвергается.
-
если , то делается вывод «данные не противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости ». Гипотеза принимается.
Итак, статистический критерий определяется статистикой и критическим множеством , которое зависит от уровня значимости .
Замечание. Если данные не противоречат нулевой гипотезе, это ещё не значит, что гипотеза верна. Тому есть две причины.
-
По мере увеличения длины выборки нулевая гипотеза может сначала приниматься, но потом выявятся более тонкие несоответствия данных гипотезе, и она будет отвергнута. То есть многое зависит от объёма данных; если данных не хватает, можно принять даже самую неправдоподобную гипотезу.
-
Выбранная статистика может отражать не всю информацию, содержащуюся в гипотезе . В таком случае увеличивается вероятность ошибки второго рода — нулевая гипотеза может быть принята, хотя на самом деле она не верна. Допустим, например, что = «распределение нормально»; = «коэффициент асимметрии»; тогда выборка с любым симметричным распределением будет признана нормальной. Чтобы избегать таких ошибок, следует пользоваться более мощными критериями.