3.3. Відношення еквівалентності

Ми розглянули властивості відношень, що є відношеннями в . Але є такі відношення, для яких справджується ціла низка властивостей. Ці відношення відокремлюються в певні групи і мають певні назви. Ми вже розглянули функціональні відношення. Розглянемо групу відношень, які називаються відношеннями еквівалентності.

Відношення еквівалентності є експлікацією (перекладом інтуїтивних уявлень у ранг строгих математичних понять) таких слів, як «подібність», «нерозрізненість», «взаємозамінність», «рівносильність».

3.3.1. Означення відношення еквівалентності. Загальні відомості.

Означення 3.6. Бінарне відношення в множині називається відношенням еквівалентності (позначається « ~ »), якщо виконуються такі властивості:

1) рефлексивність ;

2) симетричність ;

3) транзитивність .

Найважливіше значення відношення еквівалентності полягає в тому, що воно задає ознаку для розбиття множини на неперерізні підмножини.

Приклад 3.24. Наведемо приклади відношень еквівалентності.

1. «Проживати в одному будинку», де – множина людей.

2. «Вчитися в одній групі», де – множина студентів факультету.

3. «Подібність трикутників», де – множина всіх трикутників на площині.

4. «Паралельність прямих», де – множина всіх прямих на площині.

Називатимемо класом еквівалентності елемента а множину всіх елементів множини , які еквівалентні елементу .

Твердження 3.2. .

Це твердження природно випливає з означення класу еквівалентності й із рефлексивності відношення еквівалентності.

Твердження 3.3. .

Це твердження означає, що всі еквівалентні елементи належать одному і тому ж самому класу еквівалентності. Виникають природні питання:

1. Чи всі елементи множини , на якій задано відношення еквівалентності, належать деякому класу еквівалентності?

2. Чи перерізаються між собою різні класи еквівалентності?

На перше запитання надає позитивну відповідь твердження 4.2.

На друге запитання надає відповідь наступна теорема, яку звичайно називають теоремою про розбиття множини на класи еквівалентності відношенням еквівалентності.

Теорема 3.3. Якщо на множині задано відношення еквівалентності, то воно задає розбиття множини і це розбиття – єдине.

Цю теорему ми приймемо без строгого доведення, але проаналізуємо його хід.

Нехай на множині задано відношення еквівалентності. Розглянемо сукупність усіх класів еквівалентності , які можуть бути утворені. Можна довести, що:

1. .

2. .

Перший пункт означає, що об’єднання всіх класів еквівалентності дорівнює всій множині . Дійсно, будь-який елемент множини є одночасно елементом множини і елементом деякого класу еквівалентності (наприклад, за твердженням 3.2 класу ).

Другий пункт означає, що переріз будь-яких двох різних класів еквівалентності порожній, тобто різні класи еквівалентності не перерізаються.

Обидва пункти означають, що класи еквівалентності утворюють розбиття множини . Можна довести єдиність такого розбиття.

Слід зауважити, що в множині може бути задане не єдине відношення еквівалентності, але кожне відношення задає певне розбиття множини і за цим відношенням еквівалентності це розбиття єдине.

Приклад 3.25. Нехай задана множина студентів факультету. Можна задати такі бінарні відношення в цій множині:

1. – «вчитися на одній спеціальності»;

2. – «вчитися в одній групі»;

3. – «бути однієї статі».

Очевидно, що всі три відношення , і рефлексивні, симетричні і транзитивні, тобто всі вони є відношеннями еквівалентності. Це означає, що всі вони замінюють своє розбиття множин на класи еквівалентності. Для відношення класами еквівалентності є множини студентів, які вчаться за однією спеціальністю (наприклад, на факультеті 4 спеціальності), для відношення – множини студентів, які вчаться в одній групі (наприклад, на факультеті 8 груп), для відношення – два класи еквівалентності – множини студентів жіночої та чоловічої статі. Відповідні типи розбиття приведені на рис.3.36.

Рис. 3.36

Таким чином, доведено, що класи еквівалентності утворюють розбиття множини . Залишилось довести єдиність такого розбиття. Припустимо супротивне: розбиття не єдине. Нехай за заданим відношенням еквівалентності існують два різних розбиття й (). Це означає, що є така точка , яка належить деякому класу розбиття в та в (). Оскільки маємо , а оскільки , дістаємо . Внаслідок симетричності й транзитивності відношення еквівалентності ; за твердженням 3.2 це означає, що , а це суперечить умові . Одержана суперечність доводить єдиність розбиття.

Аналогічно можна довести твердження, обернене до теореми 3.3, про те, що коли на множині означено розбиття, то воно задає деяке відношення еквівалентності, внаслідок чого класи (елементи) розбиття є класами еквівалентності.

Приклад 3.26. Загальновідомо, що у будь-якій фірмі (організації) існує керівництво фірми і існують підлеглі, тобто є розбиття множини співробітників фірми на дві підмножини: – множина керівників фірми і множина підлеглих. спробуємо відшукати відношення, яке спричиняє це розбиття. Це відношення – „входити в склад керівництва”.

Усі елементи, які належать деякому класу розбиття множини , пов'язані між собою відношенням еквівалентності. Вони взаємозамінні в тому сенсі, що будь-який з цих елементів задає клас, тобто може слугувати його представником (еталоном).

Означення 3.6. Підмножина множини , що містить один і тільки один елемент із кожного класу деякого розбиття, називають системою представників відповідного відношення еквівалентності.

Наведемо деякі приклади відношення еквівалентності.

Приклад 3.27. Відношення «проживати в одному будинку» на множині жителів міста, очевидно, є відношенням еквівалентності й розбиває цю множину на неперерізні підмножини людей, які є сусідами в будинку.

Приклад 3.28. Розглянемо відношення рівності за на множині цілих чисел . Говорять, що дорівнює за , якщо ділиться на без залишку. Записують це так: . Усі цілі числа, які дорівнюють за , утворюють підмножину цілих чисел, що мають однаковий залишок при поділі на . Очевидно, такі підмножини є класами еквівалентності, а як представника кожної з них природно вибрати залишок . Таким чином, відношення рівності за означає розбиття множини цілих чисел на класів , де – множина, яка називається класом лишків за .

Наприклад, при маємо , , , .