8.3. Линейная зависимость двух геометрических векторов.
Теорема 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Доказательство.
1) Пусть векторы
и
линейно зависимы., т.е. существуют числа
и
,
одновременно не равные нулю, такие, что
.
Пусть
для определенности
.
Тогда
.
Если
обозначить
через
,
получим
.
По
определению произведения вектора на
число
и
коллинеарны.
2).
Докажем обратное. Пусть
и
коллинеарны. Если один из векторов
нулевой, то они линейно зависимы. Если
оба вектора ненулевые, то возьмем
,
а знак выберем в зависимости от
направления:: +, если
и
сонаправлены, и -, если они имеют
противоположные направления. Тогда
и, следовательно,
,
т.е.
и
линейно зависимы. Теорема доказана.
8.4. Линейная зависимость трех геометрических векторов.
Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство.
1). Пусть векторы
,
и
линейно зависимы, т.е. существует их
нетривиальная линейная комбинация,
равная нулевому вектору:
Пусть
для определенности
.
Тогда
.
Обозначим:
.
Имеем
.
Возьмем
произвольную точку
и приложим к ней векторы
и
.
Тогда
- это диагональ параллелограмма,
построенного на этих векторах.
Следовательно,
,
и
параллельны одной плоскости, т.е.
компланарны.
2)
Докажем обратное. Пусть
,
и
компланарны. Если среди векторов есть
два коллинеарных, то они линейно зависимы
(по предыдущей теореме). Пусть никакие
два вектора не коллинеарны. Приложим
эти векторы к общему началу.
Через
точку
проведем прямые, параллельные векторам
и
.
Точки
и
- это точки пересечения этих прямых с
прямыми
и
.
Тогда
.
Так
как
и
коллинеарны, то
.
Аналогично,
.
Получаем
,
т.е.
векторы
,
и
линейно зависимы.
Попутно мы доказали следующее утверждение.
Утверждение.
Если
и
неколлинеарны, то для любого вектора
,
лежащего в одной плоскости с векторами
и
,
найдутся числа
и
такие, что
.
8.5. Линейная зависимость четырех векторов.
Теорема 3. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство.
Если среди четырех векторов есть три
компланарных, то теорема доказана.
Предположим, что никакие три вектора
из четырех не компланарны. Приложим все
векторы – обозначим их
,
,
и
- к общему началу, точке
.
Плоскости,
в которых лежат векторы
и
,
и
,
и
различны. Через конец вектора
проведем плоскости, параллельные этим
трем плоскостям, и найдем их точки
пересечения с прямыми, на которых лежат
векторы
,
и
.Получили
параллелепипед. Заметим, что
,
но
,
,
,
значит,
,
откуда
,
т.е.
векторы
,
,
и
линейно зависимы. Теорема доказана.
Попутно
мы доказали, что для любой тройки
некомпланарных векторов
,
и
и для любого вектора
найдутся числа
,
такие, что
.
8.6. Аффинные координаты. Декартовы прямоугольные координаты. Как и в любом векторном пространстве, в пространстве свободных векторов существует понятие базиса. Напомним, что упорядоченный набор векторов образует базис, если:
1) эти векторы линейно независимы,
2) любой вектор в пространстве линейно выражается через них.
Теорема 4. Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.
Доказательство теоремы очевидно: любые три некомпланарных вектора линейно независимы и любой вектор является их линейной комбинацией. Справедлива также
Теорема 4а. Любые два неколлинеарных вектора, лежащие в плоскости, образуют базис в этой плоскости.
Напомним, что равенство
называют
разложением вектора
по базису
,
а числа
- координатами вектора
в базисе
.
Эти координаты определены однозначно.
Зафиксировав
базис
в пространстве свободных векторов и
точку
в пространстве – ее называют началом
координат, - мы можем определить
так называемые аффинные координаты
произвольной точки
нашего пространства.
Определение.
Аффинными координатами точки
пространства называются координаты
вектора
.
Так как каждый вектор может быть разложен по фиксированному базису, причем это разложение однозначно, то аффинные координаты каждой точки однозначно определены.
Пусть
в пространстве заданы две точки своими
аффинными координатами:
.
Тогда координаты вектора
находятся следующим образом:
/
Частным
случаем аффинных координат являются
декартовы прямоугольные координаты,
когда базисные векторы имеют единичную
длину и взаимно перпендикулярны. В этом
случае базисные векторы принято
обозначать
.
Если
,
то обычно записывают
.
Оси,
проходящие через начало координат и
параллельные векторам
,
называют координатными осями.
Чтобы выяснить геометрический смысл декартовых прямоугольных координат, введем понятие проекции вектора на ось.
Пусть
- некоторая ось (прямая с выбранным на
ней направлением). Приложим вектор
к произвольной точке
:
Из точек
и
опустим на прямую
перпендикуляры. Их основания – точки
и
соответственно. Проекцией вектора на
ось будем называть длину отрезка
,
взятую со знаком + , если
и
имеют одно и то же направление, и со
знаком - в противном случае.
Обозначение:
прl
.
Теорема 5. Декартовы прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на координатные оси.
Доказательство.
Приложим произвольный вектор
к началу координат
и проведем через его конец три плоскости,
перпендикулярные координатным осям.
Точки
- точки пересечения этих плоскостей
с осями.
Тогда
.
Но
,
причем знак выбирается в соответствии
с тем, совпадают или нет направления
и
.
Иначе,
.
Аналогично,
,
.
Теорема доказана.
Замечание
1. Рассмотрим треугольник
В нем угол
прямой. Пусть
.
Тогда если угол
острый, то
.
Если
угол
тупой, то
.
Отсюда
.
Аналогично получаем, что
,
где
- величина угла
,
- величина угла
.
Итак,
.
Величины
называют направляющими косинусами.
Значит, вектор однозначно определяется
своей длиной и направляющими косинусами.
Замечание
2. Пусть
.
Воспользовавшись теоремой Пифагора,
получим:
.
Отсюда следует, во-первых, что
,
и, во-вторых, что
,
,
.