5.2. Линейная зависимость.

Определение. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где R.

Замечание 1. Линейной комбинацией называется как само выражение, так и вектор, который получается в результате выполнения всех действий.

Замечание 2. Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что линейно выражается через .

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная . Векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, т.е. из равенства следует, что для всех .

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов линейно выражается через остальные.

Доказательство. 1). Пусть линейно зависимы. Следовательно, существуют , не все равные нулю, такие, что . Предположим, что . Тогда

2). Пусть один из векторов линейно выражается через остальные. Для определенности положим: . Тогда . Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим пространство Rⁿ – пространство строк длины . Покажем, что векторы

линейно независимы. Действительно, пусть . Но , откуда

для всех , т.е. только тривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

5.3. Базис.

Определение. Упорядоченное множество векторов образует базис пространства , если:

1. векторы линейно независимы,

2. любой вектор пространства линейно выражается через векторы .

Равенство называется разложением вектора по базису . Коэффициенты называются координатами вектора в базисе .

Теорема. Пусть - базис пространства . Тогда для любого вектора из разложение по базису единственно.

Доказательство. Пусть и . Тогда

- =,

=.

Но векторы линейно независимы, поэтому для всех . Теорема доказана.

Пример. В арифметическом линейном пространстве Rⁿ система векторов

образует базис, т.к. эти векторы линейно независимы и любой вектор линейно выражается через них: . Этот базис не единственный.

Задача. Докажите, что множество векторов

тоже образует базис.

5.4. Размерность линейного пространства.

Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует базис из векторов. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов.

Обозначение: .

Очевидно, что в -мерном пространстве любая система из векторов линейно зависима.

Вспомним некоторые примеры линейных пространств.

1).Rⁿ .

2). Пространство последовательностей бесконечномерно. Чтобы это показать, рассмотрим бесконечное множество элементов этого пространства N:

Любая конечная система таких векторов линейно независима.

5.5. Ранг системы векторов. Пусть - некоторое, быть может, бесконечное, множество векторов из линейного пространства . Набор векторов назовем максимальной линейно независимой системой, если эти векторы линейно независимы и добавление любого другого вектора из множества делает систему линейно зависимой. Если Х является векторным пространством, то максимальная линейно независимая система векторов в нем является базисом.

Пусть - максимальная линейно независимая система в и пусть - вектор, отличный от векторов . Тогда векторы линейно зависимы: . Заметим, что , иначе линейно зависимыми были векторы . Отсюда . Мы получили, что если - максимальная линейно независимая система, то любой вектор из линейно выражается через эти векторы. (Если вектор равен одному из векторов системы , то он очевидным образом выражается через векторы этой системы.)

Лемма. Пусть и - две системы векторов, причем векторы линейно независимы. Если векторы линейно выражаются через , то .

Доказательство. Предположим противное: пусть >. Имеем:

Рассмотрим строки, составленные из коэффициентов :

Эти строки можно считать элементами пространства R^r. Так как >, то эти строки линейно зависимы, т.е. найдутся , не все равные нулю, такие, что .

Иначе, для . Но тогда ,

что означает линейную зависимость векторов . Значит, .

Следствие. Если и - две максимальные линейно независимые системы в , то .

Действительно, так как векторы линейно выражаются через , то . Но тоже линейно выражаются через , значит, . Отсюда .

Определение. Рангом системы векторов называется число векторов в максимальной линейно независимой системе.

Согласно только что доказанной лемме, ранг системы не зависит от выбора максимальной линейно независимой системы.