7. Структура множества решений системы линейных уравнений

7.1 Однородные системы линейных уравнений. Пусть дана однородная система линейных уравнений

(*)

Предположим, что набор чисел - какое-то решение этой системы. Тогда набор чисел тоже является решением. Это проверяется непосредственной подстановкой в уравнения системы. Далее, если набор - некоторое другое решение, то тоже является решением:

И вообще, любая линейная комбинация решений системы (*) является решением этой системы. Поскольку нулевое решение всегда входит во множество решений однородной системы, то можно утверждать, что множество решений однородной системы является линейным пространством. Так как каждое решение системы можно считать мерным вектором (элементом пространства Rⁿ), тообразует подпространство в Rⁿ .

Найдем размерность подпространства и какой-нибудь базис в нем. Решая систему методом Гаусса, мы выделим главных неизвестных и выразим их через свободные (без ограничения общности считаем, что главными являются первые неизвестных):

(**)

Придавая произвольные значения свободным неизвестным, мы получим значения главных неизвестных. Заметим, что если положить , то значения главных неизвестных окажутся равными коэффициентам при в правых частях соответствующих уравнений системы (**). И вообще, положив одну - ю - свободную неизвестную равной 1, а остальные равными 0, мы получим в качестве значений главных неизвестных коэффициенты при й неизвестной в соответствующих уравнениях системы (**). Тогда векторы-столбцы

являются решениями системы. Более того, любое решение линейно выражается через : если это решение соответствует значениям свободных неизвестных , то

.

Линейная независимость векторов очевидна из-за специального вида своих последних компонент. Итак, набор векторов является максимальной линейно независимой системой во множестве решений . Так как множество является линейным пространством, то - базис пространства .

Любой базис пространства называется фундаментальной системой решений. Безусловно, в пространстве есть много различных фундаментальных систем решений. Например, возьмем отличный от нуля определитель порядка :

.

В качестве значений свободных неизвестных возьмем элементы какой-нибудь строки этого определителя. Так мы получим различных решений. Все эти решения будут линейно независимы, так как матрица, составленная из этих решений, будет содержать ненулевой минор порядка .

Система решений выделяется во множестве фундаментальных систем решений своим видом, ее иногда называют нормальной фундаментальной системой.

7.2. Линейные многообразия. Структура решения неоднородной системы линейных уравнений. Пусть - линейное пространство, а - его подпространство. Множество называется линейным многообразием типа размерности . Иными словами, есть пространство , «сдвинутое» на вектор . Этот вектор определен неоднозначно. Если , то , и тогда =, так как является подпространством.

В качестве примера рассмотрим множество векторов, концы которых находятся на данной прямой, не проходящей через начало координат. Это множество не является линейным пространством, но является линейным многообразием.

Любое линейное пространство является линейным многообразием со сдвигом на нулевой вектор.

Теперь обратимся к неоднородной системе линейных уравнений

(***)

Предположим, что эта система совместна. Пусть - некоторое решение. Если - другое решение, то разность этих решений является решением соответствующей однородной системы:

.

С другой стороны, если к решению неоднородной системы прибавить решение однородной , то получится решение неоднородной системы:

Если зафиксировать какое-нибудь решение неоднородной системы, то все остальные решения получатся, если к прибавлять различные решения однородной системы. А так как решения однородной системы образуют линейное подпространство в Rⁿ , то решения неоднородной системы образуют линейное многообразие в Rⁿ . Тип этого линейного многообразия – пространство решений однородной системы, размерность равна , где - ранг матрицы системы. Для того, чтобы найти вектор сдвига, достаточно найти одно какое-нибудь решение неоднородной системы. При решении системы методом Гаусса, сделать это нетрудно. Выразив главные неизвестные через свободные

положим все свободные переменные равными нулю. Тогда -я главная переменная станет равна . Таким образом, в качестве вектора сдвига можно взять вектор

.

Итак, множество решений неоднородной системы линейных уравнений – это линейное многообразие .

7.3. Количество решений системы линейных уравнений. Из всего вышесказанного несложно сделать вывод о возможном количестве решений системы линейных уравнений. Если система линейных уравнений является однородной, то множество ее решений является линейным пространством. Если размерность этого пространства равна 0, то есть оно состоит из одного лишь нулевого решения, то решение единственно. Если размерность больше 0, то это пространство содержит бесконечное число элементов, и поэтому количество решений бесконечно.

В неоднородном случае система может оказаться несовместной, и тогда множество решений равно пустому множеству. Если система совместна, то количество решений зависит от размерности соответствующего линейного многообразия. Если это многообразие нульмерно, то решение единственно. Если размерность многообразия положительна, то система имеет бесконечное количество решений.