9.5. Алгебраические свойства векторного произведения.

1). - антикоммутативность векторного произведения. Действительно, векторы в левой и правой частях равенства имеют одинаковую длину, коллинеарны, но противоположны по направлению.

2) . Справедливость этого утверждения очевидна.

3) . Докажем это утверждение. При утверждение очевидно. Пусть . Равенство длин векторов в левой и правой частях показать несложно:

где - угол между векторами и , - угол между векторами и .

Либо , если , либо , если . В любом случае .

Коллинеарность векторов в левой и правой частях следует из их ортогональности плоскости, определяемой векторами и . Осталось показать одинаковую направленность. Если , то векторы и одинаково направлены, следовательно, одинаково направлены и , а также и . Если , то и противоположно направлены. В этом случае противоположно направлены векторы и . Но тогда одинаково направлены и . Свойство доказано.

4). Докажем это. Пусть сначала векторы компланарны. Приведем их к общему началу. Пусть - единичный вектор, принадлежащий той же плоскости, что и , и перпендикулярный вектору , и пусть вектор - единичный вектор, перпендикулярный этой плоскости, такой, что тройка является правой. По теореме 1 справедливы равенства:

Тогда свойство вытекает из свойства проекции

Пусть теперь некомпланарны. Так как векторы ортогональны вектору , то они параллельны одной плоскости (перпендикулярной вектору ), т.е. компланарны. Значит, они линейно зависимы, т.е. существуют такие числа , не все равные нулю, что выполняется равенство

. (*)

Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор . Учитывая, что , получим:

(**)

Равенство смешанных произведений и с точностью до знака следует из равенства объемов параллелепипедов (см. рисунок), построенных на соответствующих векторах, поскольку эти параллелепипеды имеют общую высоту, а их основания имеют одинаковую площадь. Равенство знаков вытекает из определения правых и левых троек векторов: тройки и имеют одинаковую ориентацию. Итак, (и не равно нулю, так как векторы некомпланарны). Тогда из равенства (**) следует .

Умножив скалярно обе части равенства (*) на вектор , аналогичными рассуждениями получим, что . Таким образом, из равенства (*) вытекает

Свойство доказано.

Замечание. Свойства 3) и 4) относились к первому сомножителю векторного произведения. Однако эти свойства справедливы и для второго сомножителя. Например:

9.6. Вычисление векторного произведения в декартовых координатах. С этого момента мы будем считать, что базисные векторы в декартовой прямоугольной системе координат образуют правую тройку.

Теорема. Если в декартовой прямоугольной системе координат

, ,

то , или – что удобнее для запоминания –

.

Доказательство. Сначала рассмотрим всевозможные векторные произведения базисных векторов:

Поскольку

, ,

то, пользуясь доказанными свойствами линейности векторного произведения, получим:

Теорема доказана.