9. Скалярное, векторное, смешанное произведения.

9.1. Скалярное произведение. Прежде всего, определим, что такое угол между двумя произвольными векторами и . Возьмем любую точку и приложим к ней оба вектора. Угол между этими векторами и называется углом между векторами и . Традиционно выбирается тот угол, который меньше .

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: или .

Итак,

,

где - угол между векторами и .

Так как

,

то можно записать, что

или

.

Свойства скалярного произведения.

1. Коммутативность: .

2. Линейность:

Первое равенство доказывается очевидным образом. Чтобы доказать второе, докажем сначала лемму.

Лемма. .

Доказательство. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось совпала с осью . Пусть в этой системе . Тогда

.

Но так как в прямоугольной системе координат координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси, то

.

Лемма доказана.

Пользуясь леммой, легко доказать свойство линейности:

3) , если ; , если . Это свойство сразу следует из определения скалярного произведения.

Замечания. 1). .

2). и ортогональны или хотя бы один из векторов равен .

9.2. Вычисление скалярного произведения в декартовых прямоугольных координатах. Пусть нам дана декартова прямоугольная система координат. Заметим, что

Если и - два произвольных вектора, то, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно вычислить:

Отсюда, кстати, следует равенство

.

Заметим еще, что , , . Действительно,

.

Остальные равенства получаются аналогично.

Из формулы для вычисления скалярного произведения в декартовых прямоугольных координатах легко выводится формула для нахождения угла между векторами:

.

9.3. Векторное произведение двух векторов. Сначала дадим определение.

Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (положительно ориентированной), если после приведения к общему началу вектор лежит по ту сторону плоскости, определяемой векторами и , откуда кратчайший поворот от вектора к вектору кажется совершаемым против часовой стрелки (в положительном направлении). В противном случае тройка векторов называется левой (отрицательно ориентированной).

Иначе, тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами , мы видим поворот от к и затем от к совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Из данных трех векторов можно составить шесть различных упорядоченных троек. Три из них (; ; ) являются правыми, остальные три (; ; ) являются левыми.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор ортогонален и ;

2) векторы образуют правую тройку;

3) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:.

Обозначение: или .

Очевидные геометрические свойства векторного произведения:

1. векторы и коллинеарны .

2. , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Векторное произведение встречается и в механике. Если - сила, приложенная в точке , то - момент силы относительно точки .

Теорема 1. Пусть вектор лежит в плоскости , - единичный вектор, лежащий в этой же плоскости и ортогональный вектору . Возьмем единичный вектор , перпендикулярный плоскости , причем выберем его так, чтобы тройка векторов была правой. Тогда для любого вектора , лежащего в плоскости , справедливо равенство

. (*)

Доказательство. Покажем, что векторы в левой и правой частях равенства (*) имеют одинаковую длину, коллинеарны и одинаково направлены.

По определению векторного произведения длина вектора в левой части равенства равна площади параллелограмма, построенного на векторах и . Длина вектора в правой части равенства (*) равна , т.е. тоже равна площади параллелограмма, поскольку проекция вектора на вектор равна высоте параллелограмма, если вектор принять за его основание.

Коллинеарность векторов в левой и правой частях равенства (*) следует из того, что они ортогональны плоскости . Наконец, эти векторы одинаково направлены. Действительно, если проекция вектора на вектор положительна, то векторы образуют правую тройку. В этом случае векторы ,, одинаково направлены. Если же проекция вектора на вектор отрицательна, то векторы образуют левую тройку. В этом случае векторы и противоположно направлены, и векторы и противоположно направлены. Опять получается, что векторы и одинаково направлены. Теорема доказана.

Прежде, чем обсуждать свойства векторного произведения, введем понятие смешанного произведения векторов.

9.4. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны три произвольных вектора .

Определение. Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторного произведения на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения показывает следующая теорема.

Теорема 2. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , приведенных к общему началу, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и минус в противном случае. Если векторы компланарны, то смешанное произведение равно 0.

Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю и, следовательно, смешанное произведение равно нулю.

Пусть и не коллинеарны. Обозначим через площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и , а через орт векторного произведения . Тогда:

Если векторы некомпланарны, то с точностью до знака равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах , при условии, что параллелограмм, поостренный на векторах и , является основанием этого параллелепипеда. Следовательно, с точностью до знака смешанное произведение равно объему этого параллелепипеда. Остается разобраться со знаком.

Если тройка векторов является правой, т.е. вектор лежит по ту же сторону плоскости, определяемой векторами и , что и вектор , то проекция положительна. Если тройка векторов является левой, т.е. вектор лежит по другую сторону плоскости, то проекция отрицательна.

Наконец, если векторы компланарны, то вектор лежит в плоскости, определяемой векторами и , и его проекция на направление вектора равна 0. Значит, равно 0 и смешанное произведение . Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство .

Действительно, в силу коммутативности скалярного произведения. Значит, нам надо показать, что . С точностью до знака обе части равенства равны объему параллелепипеда, построенного на векторах . А знак их совпадает, поскольку тройки векторов и имеют одинаковую ориентацию.

Равенство позволяет записывать смешанное произведение просто в виде , не учитывая, какие именно вектора участвуют в векторном произведении.

Следствие 2. Для компланарности трех векторов необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения.