7. Критерий дифференцируемости функции комплексного переменного в точке (условия Коши – Римана).

Производная функции комплексной переменной определяется следующим образом:

Будем считать, что функции  и  регулярны в области : непрерывны и имеют непрерывные частные производные по аргументам  и . Установим ограничения на функции u и v, которые должны выполняться, чтобы можно было дифференцировать функцию w по аргументу z. Функция  должна быть функцией только одного комплексного аргумента - . Выше было показано, что комплексная функция, построенная из двух функций двух действительных переменных

Для того, чтобы функция f (z) была дифференцируема в точке 0 z , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части u(x, y), v(x, y)были бы дифференцируемы в этой точке z0 = x0 + iy0 как функции двух переменных x, y и в этой точке выполнялись бы условия Коши-Римана

8. Понятие гармонической функции. Теорема о связи между гармонической функцией u(X,y) и аналитической функцией f(z).

Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа)

Функция u(x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет равенству

Теорема. Если f(z)аналитичесая ф-ия в обл. Д, то её вещ-ая и мни-ая часть являются гармоническими фун-иями (в обл. Д)

9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного в точке. Понятие конформного отображения. Теорема о конформности отображения, задаваемого аналитической функцией.

Геометрический смысл модуля аргумента производной функции комплексного переменного: векторы в точке М растягиваются в r раз, а аргумент поворачивает эти векторы на  радиан против часовой стрелки.

Отображение W=f(z)обладающее св-ом сохр. углов и постоянство растяжений называется конформным.

Теорема: Отображение w=f(z) конформным в области Д  f(z)-аналитическая в области Д и f’(z) не равен 0 в области Д

10. Понятие интеграла от функции комплексного переменного вдоль кривой .

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой l = C

Интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С. Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

 

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).

11. Теорема Коши для односвязной области. Пример.

Пусть фун-ия f(z) аналит. в односвязной обл. Д., тогда интеграл от нее по любому замкнутому контуру, полностью лежащему в обл. Д=0

F(замкн.) (z)dz= 0 .

L(принадл.)Д

Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю(пример. Sin z , |z|=1)