![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Случайные события. Частота. Вероятность.
- •Пространство элементарных событий, операции над событиями.
- •Классическая формула подсчета вероятностей. Комбинаторика.
- •Плотность вероятности
- •Свойства плотности вероятности
- •Плотность случайной величины
- •Замечания
- •Вопрос26
- •1. Введение.
- •Моменты
- •Свойства гамма-распределения
- •Связь с другими распределениями
- •Моделирование гамма-величин
- •Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Определение
- •Свойства распределения Стьюдента
- •Моменты
Плотность вероятности
Пусть
является
вероятностной мерой на
,
то есть определено вероятностное
пространство
,
где
обозначает
борелевскую
σ-алгебру на
.
Пусть m
обозначает меру
Лебега на
.
Определение
1. Вероятность
называется
абсолютно
непрерывной (относительно меры Лебега)
(
),
если любое борелевское множество нулевой
меры Лебега также имеет вероятность
ноль:
Если
вероятность
абсолютно
непрерывна, то согласно теореме
Радона-Никодима существует
неотрицательная борелевская
функция
такая,
что
,
где
использовано общепринятое сокращение
,
и интеграл понимается в
смысле Лебега.
Определение
2. В более
общем виде, пусть
-
произвольное измеримое
пространство, а μ
и ν
- две меры
на этом пространстве. Если найдется
неотрицательная измеримая
функция f,
позволяющая выразить меру ν
через меру μ
в виде ν(A)
= ∫ fdμ,
A
|
|
|
|
|
|
то такую функцию называют плотностью меры ν по мере μ, или производной Радона-Никодима меры ν относительно меры μ, и обозначают
.
Свойства плотности вероятности
-
Плотность вероятности определена почти всюду. Если f является плотностью вероятности
и f(x) = g(x) почти всюду относительно меры Лебега, то и функция g также является плотностью вероятности
.
-
Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.
Обратно,
если f(x)
— неотрицательная п.в. функция, такая
что
,
то существует абсолютно непрерывная
вероятностная мера
на
такая,
что f(x)
является её плотностью.
-
Замена меры в интеграле Лебега:
,
где
любая
борелевская функция, интегрируемая
относительно вероятностной меры
.
Плотность случайной величины
Пусть
определено произвольное вероятностное
пространство
,
и
случайная
величина (или случайный вектор). X
индуцирует вероятностную меру
на
,
называемую распределением случайной
величины X.
Определение
3. Если
распределение
абсолютно
непрерывно относительно меры Лебега,
то его плотность
называется
плотностью случайной величины X.
Сама случайная величина X
называется абсолютно непрерывной.
Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:
.
Замечания
-
Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
-
Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины X непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
.
В одномерном случае:
.
Если
,
то
,
и
.
В одномерном случае:
.
Вопрос№21
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия. 1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом: m1 - число подшипников с внешним диаметром х1, m2 - число подшипников с внешним диаметром х2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mn - число подшипников с внешним диаметром хn, Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,
Внешний
диаметр вынутого наудачу подшипника
можно рассматривать как случайную
величину
,
принимающую значения х1,
х2,
..., хn,
c соответствующими вероятностями
p1=m1/N,
p2=m2/N,
..., pn=mn/N,
так как вероятность pi
появления подшипника с внешним диаметром
xi
равна mi
/N.
Таким образом, среднее арифметическое
значение xср
внешнего диаметра подшипника можно
определить с помощью соотношения
Пусть
-
дискретная случайная величина с заданным
законом распределения вероятностей
Математическим
ожиданием
дискретной
случайной величины
называется
сумма парных произведений всех возможных
значений случайной величины на
соответствующие им вероятности, т.е. *
|
(39) |
Возвращаясь
к разобранному выше примеру, мы видим,
что средний диаметр подшипника равен
математическому ожиданию случайной
величины
-
диаметру подшипника.
Математическим
ожиданием
непрерывной
случайной величины
с
плотностью распределения
называется
число, определяемое равенством
|
(40) |
При
этом предпологается, что несобственный
интеграл, стоящий в правой части равенства
(40) существует.
Рассмотрим
свойства математического ожидания. При
этом ограничимся доказательством только
первых двух свойств, которое проведем
для дискретных случайных величин.
1°.
Математическое ожидание постоянной С
равно этой постоянной.
Доказательство.
Постоянную C можно рассматривать как
случайную величину
,
которая может принимать только одно
значение C c вероятностью равной единице.
Поэтому
2°.
Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания, т.е.
Доказательство. Используя соотношение (39), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
|
|
4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:
|
Вопрос№23
Вопрос№24