15. Типовые задачи принятия решений

Из трех приведенных выше этапов процесса принятия решений

наибольшее внимание традиционно уделяется третьему этапу.

За признанием важности поиска информации и выделения

альтернатив следует понимание того, что эти этапы в высшей

степени неформализованы. Способы прохождения этапов зависят

не только от содержания задачи принятия решений, но и от опыта,

привычек, личного стиля ЛПР и его окружения. Хотя эти же

факторы присутствуют при сравнении альтернатив, здесь их

роль заметно меньше. Научный анализ проблем принятия решений

начинается с момента, когда хотя бы часть альтернатив

и/или критериев известна.

В современной науке о принятии решений центральное место

занимают многокритериальные задачи выбора. Считается,

что учет многих критериев приближает постановку задачи к

реальной жизни. Традиционно принято различать три основные

задачи принятия решений.

1. Упорядочение альтернатив. Для ряда задач представляется

вполне обоснованным требование определить порядок на

множестве альтернатив. Так, члены семьи упорядочивают по

степени необходимости будущие покупки, руководители фирм

упорядочивают по прибыльности объекты капиталовложений и

т.д. В общем случае требование упорядочения альтернатив означает

определение относительной ценности каждой из альтернатив.

2. Распределение альтернатив по классам решений. Такие

задачи часто встречаются в повседневной жизни. Так, при покупке

квартиры или дома, при обмене квартиры люди обычно

делят альтернативы на две группы: заслуживающие и не заслуживающие

более подробного изучения, требующего затрат сил и

средств. Группы товаров различаются по качеству. Абитуриент

делит на группы вузы, в которые он стремится поступить. Точно

так же люди часто выделяют для себя группы книг (по привлекательности

для чтения), туристские маршруты и т.д.

3. Выделение лучшей альтернативы. Эта задача традиционно

считалась одной из основных в принятии решений. Она

часто встречается на практике. Выбор одного предмета при покупке,

выбор места работы, выбор проекта сложного технического

устройства — эти примеры хорошо знакомы.Кроме того,

такие задачи распространены в мире политических решений,

где альтернатив сравнительно немного, но они достаточно

сложны для изучения и сравнения. Например, необходим лучший

вариант организации обмена денег, лучший вариант проведения

земельной реформы и т.д. Заметим, что особенностью

многих задач принятия политических решений является конструирование

новых альтернатив в процессе решения проблем.

22.25.29.30. Тема 4. Функция полезности.

Пусть заданы критерии K₁,…,K_n; X = { x | x = (x₁,…,x_n) } – множество векторых оценок вариантов по этим критериям. Пусть на X задано R – отношение предпочтения. Числовая функция f : X → R , называется функцией полезности (ценности, предпочтительности), если она обладает следующим свойством: f(x) ≥ f(y) ⇔ x R y.

Если известна функция полезности, то поиск оптимального варианта сводится к задаче нахождения x* = arg max f(x), x∈X – аргумента максимума функции полезности на множестве X.

Как найти функцию полезности?

Методы построения функции полезности делятся на эвристические и аксиоматические.

К эвристическим методам можно отнести метод главного критерия и метод обобщенного критерия.

Метод главного критерия сводится к оптимизации по одному выбранному критерию, при условии, что остальные критерии не больше (или не меньше) приемлемых значений.

Метод обобщенного критерия заключается в свёртке набора критериев в числовую функцию, которая и будет являться функцией полезности.

Виды свёрток:

1. 1) аддитивная свёртка: f = α₁K₁+…+α_nK_n;

2. 2) мультипликативная свёртка: f = exp(α₁ln(K₁)+…+α_nln(K_n)) = =11...nnKKαα⋅⋅;

3. 3) приведенная свёртка: f = min(K_i/α_i) по всем i=1…n (или f = max(K_i/α_i) по всем i=1…n).

Аксиоматические методы построения функции полезности – это формальные методы, основанные на том, что формулируются специальные предположения (аксиомы) о свойствах предпочтения, выполнение которых гарантирует существование функции полезности конкретного вида.

Обычно, при использовании таких методов функцию полезности строят в аддитивном виде:

f = λ₁f₁+…+λ_nf_n (*)

как сумму функций полезности по каждому критерию с некоторыми весовыми коэффициентами λ₁,…,λ_n.

Пусть K_I ⊂ K = {K₁,…,K_n} – подмножество множества критериев, т.е. группа критериев с номерами из множества I = {i₁,…,i_m}. Ī = {1,…,n}\I. Тогда K_Ī – все остальные критерии, а векторная оценка x представляется в виде (x_I,x_Ī).

Говорят, что критерии K_I не зависят по предпочтению от критериев K_Ī, если предпочтения для любых двух оценок x = (x_I,x_Ī) и x’ = (x_I’,x_Ī), содержащих одинаковые компоненты с номерами из Ī, не зависят от самих значений этих компонент.

Пример 1.

n = 5, I = {1,3,4}, Ī = {2,5}.

x = (7,1,2,8,2) = (x_I,x_Ī), где x_I = (7,2,8), x_Ī = (1,2).

y = (4,1,8,3,2) = (y_I,y_Ī), где y_I = (4,8,3), y_Ī = (1,2).

Таким образом, x_Ī = y_Ī.

Если критерии K_I не зависят по предпочтению от критериев K_Ī и оценка x предпочтительнее, чем оценка y, то и, например, оценка x₁ = (7,4,2,8,5) будет предпочтительнее, чем y₁ = (4,4,8,3,5), потому что их значения по критериям из группы K_I совпадают с соответствующими значениями оценок x и y, а оценки по остальным критериям одинаковые. Таким образом, вместо x_Ī = y_Ī = (1,2) можно подставить любую оценку (a,b) и предпочтение сохранится: (7,a,2,8,b) предпочтительнее, чем (4,a,8,3,b).

Критерии K₁,…,K_n такие, что любой набор K_I из них не зависит по предпочтению от остальных критериев K_Ī, называются взаимно независимыми по предпочтению.

Теорема Дебре (критерий существования аддитивной функции полезности): функция полезности может быть задана в аддитивном виде (*) тогда и только тогда, когда критерии K₁,…,K_n взаимно независимы по предпочтению (при n≥3).

При n=2, кроме взаимной независимости критериев, требуется выполнение условия соответственных замещений (при n≥3 оно выполняется автоматически):

∀x₁,x₂,y₁,y₂,a,b,c,d если (x₁,x₂) ∼ (x₁–a,x₂+b) и (x₁,y₂) ∼ (x₁–a,y₂+c), то (y₁,x₂) ∼ (y₁–d,x₂+b) и (y₁,y₂) ∼ (y₁–d,y₂+c).

Т.е., если увеличение на b и c разных значений x₂ и y₂ критерия K₂ при некотором опорном значении x₁ критерия K₁ компенсируется одним и тем же уменьшением этого значения x₁ критерия K₁, то такие же увеличения b и c тех же

значений x₂ и y₂ критерия K₂ сохраняются и при любом другом опорном значении y₁ критерия K₁.

Как осуществляется проверка взаимной независимости критериев по предпочтению?

Непосредственно по определению проверить независимость критериев затруднительно, т.к. даже при небольших n возникает большое число вариантов, которые надо проверить.

Утверждение (Леонтьева-Гормана): если любая пара критериев { K_i, K_j } не зависит по предпочтению от остальных (n-2) критериев, то все критерии K₁,…,K_n взаимно независимы по предпочтению.

Таким образом, проверка сводится к установлению независимости только всех пар критериев от всех остальных критериев.

Пусть необходимо проверить на независимость по предпочтению наборы K_I и K_Ī. Берём набор x_Ī⁺ наилучших (явно хороших) значений K_Ī и подбираем (запрашиваем у ЛПР) два разных набора x_I’ и x_I’’ таких, что (x_I’, x_Ī⁺) ~ (x_I’’, x_Ī⁺). Затем берём набор x_Ī^– самых плохих оценок и спрашиваем у ЛПР, сохранилось ли безразличие (x_I’, x_Ī^–) ~ (x_I’’, x_Ī^–)? Если нет, то критерии K_I зависят от критериев K_Ī. Если да, повторяем процедуру еще для некоторых других x_I’ и x_I’’. Если всё время безразличие остаётся, задаём вопрос в общем виде (сохранится ли безразличие при любых наборах). Если да, то наборы критериев K_I и K_Ī независимы.