§ 4. Изображение окружности

1. Эллипс и его свойства. При изображении цилиндра, конуса и шара (сферы) нам придется вычерчивать эллипсы. Эллипс можно определить различными способами. Приведем определение с помощью сжатия плоскости к прямой.

Э ллипсом называется линия, которая является образом окружности при сжатии плоскости к прямой, проходящей через центр окружности (рис. 39).

Если заданы окружность, прямая, проходящая через ее центр, и коэффициент сжатия, с помощью приведенного определения легко построить образ любой точки заданной окружности. Выполнив построение нескольких точек-образов и соединив их плавной линией, можно вычертить эллипс, который является образом окружности.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ее ось Ox совпала с прямой сжатия l, а начало О было центром окружности  радиуса a (рис. 40). В этой системе координат окружность  определяется уравнением: или

. (1)

Это значит, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежит окружности , а точка, координаты которой не удовлетворяют (1) – не принадлежит.

Пусть – коэффициент сжатия, – произвольная точка плоскости, а М₀ – ее проекция на прямую l. При сжатии к точка М переходит в точку такую, что . Так как прямая ММ₁ параллельна оси Oy, то , а проекция М₀ этих точек на прямую сжатия Ox определяется координатами .

Отсюда , . Поэтому формулы сжатия имеют вид

(2)

Обратно, формулы (2) определяют сжатие плоскости к оси Ox с коэффициентом сжатия , в котором точка переходит в точку .

Из этих формул , . Подставляя x и y в уравнение (1), получим: . Значит, координаты точки М₁, являющейся образом точки окружности, удовлетворяют уравнению

, (3)

где . Это уравнение в системе Oxy определяет эллипс , который получается при сжатии окружности  к оси Ox. Напомним, что уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.

Используя каноническое уравнение эллипса, можно изучать его геометрические свойства. Вспомним некоторые понятия, связанные с эллипсом, и его свойства.

Пусть эллипс  задан в прямоугольной системе координат каноническим уравнением (3). Так как x и y входят в это уравнение во второй степени, то можно сделать следующие выводы.

Если , то  (рис. 41). Отсюда следует, что начало координат О является центром симметрии эллипса. Центр симметрии эллипса называется его центром.

Если , то , . Отсюда следует, что прямые Ox и Oy являются осями симметрии эллипса. Оси симметрии эллипса называются его осями. Каждая из осей пересекает эллипс в двух точках. Ось Ox имеет уравнение , поэтому из уравнения (3) для абсцисс точек А₁, А₂ пересечения имеем . Отсюда А₁(a;0), А₂(–a;0). Аналогично находим, что ось Oy пересекает эллипс в точках В₁(0;b) и В₂(0;–b). Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Отрезки А₁А₂ и В₁В₂ также называются осями эллипса. Центр эллипса О является общей серединой каждого из этих отрезков.

О трезок, концы которого принадлежат эллипсу, называется хордой этого эллипса. Хорда эллипса, проходящая через его центр, называется диаметром эллипса. Значит, оси эллипса являются его взаимно перпендикулярными диаметрами.

Заметим, что при , имеем . В этом случае A₁A₂>B₁B₂ и отрезки A₁A₂, B₁B₂ называются соответственно большой и малой осями эллипса. При этом числа , называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. При , наоборот, . Здесь названия осей меняются соответствующим образом.

Рассмотрим параметрические уравнения эллипса и основанный на них способ построения точек эллипса.

Пусть отрезки А₁А₂ и В₁В₂ являются осями эллипса. Построим на них, как на диаметрах, концентрические окружности ₁ и ₂ соответственно (рис. 42). Рассмотрим луч h с началом в точке О. Этот луч пересекает окружности ₁ и ₂ в точках М₁ и М₂. Через точку М₁ проведем прямую, параллельную малой оси В₁В₂, а через точку М₂ – прямую, параллельную большой оси А₁А₂. Покажем, что точка М пересечения этих прямых принадлежит эллипсу с заданными осями.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy с началом в точке О. Пусть в этой системе точка М имеет координаты (x;y). Далее, пусть луч h образует с лучом ОА₁ угол t. Если , то , . Поскольку точки М и М₁ имеют равные абсциссы, а точки М и М₂ – равные ординаты,

, . (4)

Из равенств (4) , , поэтому в силу основного тригонометрического тождества имеем , т.е. построенная точка принадлежит эллипсу с полуосями a и b.

Для любого значения t[0;2) точка M(x;y), координаты которой вычисляются по формулам (4), принадлежит эллипсу. Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями эллипса.

Из школьного курса геометрии известно, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Отсюда следует, что каждый из двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. При сжатии образами взаимно перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса. Познакомимся с этими диаметрами.

Два диаметра эллипса называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Так как при сжатии плоскости к прямой середина отрезка отображается в середину отрезка, а параллельные прямые переходят в параллельные, то при сжатии окружности к прямой, проходящей через еe центр:

– диаметр окружности переходит в диаметр эллипса;

– центр окружности переходит в центр эллипса;

– взаимно перпендикулярные диаметры окружности переходят в сопряженные диаметры эллипса;

– касательная к окружности переходит в касательную к эллипсу, при этом она параллельна диаметру, который сопряжен диаметру, проведенному через точку касания.

Ясно, что оси эллипса являются его сопряженными диаметрами. Можно доказать, что любая другая пара сопряженных диаметров эллипса уже не является перпендикулярной.

При построении изображений круглых тел достаточно часто приходится строить эллипсы по их сопряженным диаметрам. Рассмотрим, как выполняется это построение.

В озьмем окружность и построим пару ее взаимно перпендикулярных диаметров и . Через концы диаметров проведем касательные к окружности (рис. 43). Полученный при этом квадрат изображается произвольным параллелограммом . Взаимно перпендикулярные диаметры окружности при этом изобразятся средними линиями и параллелограмма. Для искомого эллипса эти средние линии будут сопряженными диаметрами.

Пусть – произвольная точка окружности и , . Прямоугольные треугольники и будут равны по катету и острому углу (, – углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Следовательно, и .

По свойству 3 параллельного проектирования

, . (5)

Поэтому

. (6)

Итак, из пропорций (5) следует способ построения точек и , соответствующих точкам и . Точка , соответствующая точке , строится как пересечение прямых и .

При построениях эллипса по паре сопряженных диаметром вновь нет необходимости строить окружность-оригинал и ее взаимно перпендикулярные диаметры. Если на стороне параллелограмма, построенного на сопряженных диаметрах (как средних линиях), взять произвольную точку , а средней линии , пользуясь пропорцией (6), построить точку , то мы сможем найти точку эллипса: .

На практике для построения точек эллипса пару его противоположных сторон делят на равных частей. На столько же частей делят соединяющую их среднюю линию (см. рис. 44 для ). Для построения точек эллипса точки деления ломаной нумеруют по часовой стрелке номерами 1, 2, …, , а точки деления ломаной – по часовой стрелке номерами 1´, 2´, …, . Точки , , …, пересечения лучей и , и , …, и принадлежат искомому эллипсу. Аналогичным образом строится часть эллипса, расположенная ниже .

2. Эллипс как проекция окружности. Возьмем плоскости  и , пересекающиеся по прямой a, и плоскость , перпендикулярную к a. Рассмотрим параллельное проектирование плоскости  на плоскость  в направлении прямой l, параллельной . Пусть М – произвольная точка плоскости , а М – ее проекция. Плоскость, проходящая через ММ перпендикулярно a, пересечет эту прямую в точке М₀. При этом угол ММ₀М будет линейным углом двугранного угла, получающегося при пересечении плоскостей  и  (рис. 44). Обозначим величину этого угла через , а величину угла МММ₀, образованного прямой ММ с плоскостью , – через . По теореме синусов: . Отсюда .

Повернем плоскость  вокруг прямой a до совмещения с плоскостью  так, чтобы лучи М₀М и М₀М, перпендикулярные прямой a, совместились. Так как при этом

1) величина >0 является для любой пары точек М и М постоянной;

2) точки М и М лежат в одной полуплоскости с границей a;

3) ММa;

4) М₀М = k М₀М,

то , где .

Отсюда следует, что на совмещенной плоскости точка М является образом точки М при сжатии этой плоскости к прямой a с коэффициентом сжатия k.

Рассмотрим теперь окружность , лежащую в плоскости , центр которой принадлежит прямой a (рис. 45). Ясно, что после совмещения плоскостей ,  и последующего сжатия к прямой a, эта окружность перейдет в эллипс .

Заметим, что если плоскость  параллельна плоскости , то проекция окружности  на плоскость  есть эллипс, равный эллипсу . Таким образом, если ,  – две непараллельные плоскости,  – плоскость, им перпендикулярная, и в плоскости  дана окружность , то ее проекция на плоскость  в направлении прямой, параллельной плоскости , есть эллипс.

Пусть АВ – диаметр окружности , лежащий на прямой a пересечения плоскостей  и , CD – перпендикулярный ему диаметр этой окружности. Проекцией диаметра АВ будет сам диаметр, а проекцией диаметра CD – диаметр эллипса CD. При этом CDАВ. Поэтому отрезки АВ и CD будут осями эллипса . За счет выбора направления проектирования мы всегда можем добиться того, чтобы CD < АВ. Отметим также, что при проектировании окружности  на плоскость , параллельную плоскости , диаметры АВ и CD окружности спроектируются в оси эллипса, равного эллипсу .

Итак, проекция окружности  на плоскость  есть эллипс. Этот эллипс, а также любой эллипс, ему подобный, будет изображением окружности . Далее, можно показать (мы это делать не будем), что произвольный эллипс можно принять за изображение окружности.

3. Изображение вписанных и описанных многоугольников. Среди школьных стереометрических задач часто встречаются задачи, в которых рассматриваются комбинации правильных многогранников и круглых тел. При построении чертежей к этим задачам надо уметь строить изображения правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных около нее.

Задача 1. Построить изображение правильного треугольника, вписанного в окружность.

Решение. Правильный треугольник А₀В₀С₀, вписанный в окружность ₀, показан на рис. 3. Проведем взаимно перпендикулярные диаметры A₀D₀, Е₀F₀ окружности ₀ Диаметр A₀D₀ будет содержать медиану , а диаметр Е₀F₀ будет параллелен стороне В₀С₀. Центр О₀ окружности является точкой пересечения медиан треугольника. Поэтому , и значит, .

При построении изображений многоугольников, вписанных в окружность и описанных около нее, будем считать эллипс – изображение окружности – заданным. С этого эллипса и будем всякий раз начинать построение. Эллипс примем за изображение окружности ₀. Если оси AD, EF эллипса считать изображениями диаметров A₀D₀, E₀F₀ окружности, то точка А будет изображением вершины А₀ треугольника А₀В₀С₀. При параллельном проектировании и подобии середина отрезка переходит в середину отрезка, а параллельные прямые – в параллельные. Поэтому изображением точки будет такая точка АAD, что , а хорда ВС эллипса, параллельная диаметру EF и проходящая через точку А, будет изображением стороны В₀С₀ (рис. 47).

Р ассмотрим теперь случай, когда сопряженные диаметры эллипса, изображающие перпендикулярные диаметры окружности, не являются осями. Здесь первоначально строится пара сопряженных диаметров AD и EF эллипса (на основе их определения: , ), а далее задача решается аналогично (рис. 48).

Задача 2. Построить изображение правильного треугольника, описанного около окружности.

Решение. Фигура-оригинал в этой задаче дана на рис. 49. Центр вписанной окружности также совпадает с центром треугольника. Поэтому A₀K₀:K₀D₀=1:2, а средняя линия M₀N₀ треугольника пересекает медиану A₀D₀ в точке L₀ такой, что A₀L₀=L₀D₀.

На рис. 50 дано требуемое изображение в том случае, когда перпендикулярные диаметры окружности изображаются осями эллипса, а на рис. 51 показан случай, когда эти диаметры изображаются произвольными сопряженными диаметрами эллипса. Объясните, как выполнены эти изображения.