§ 7. Изображение теней

Иногда для придания чертежу большей наглядности используют тени. Кроме того, построение теней – интересная геометрическая задача, способствующая развитию пространственного мышления, сущность которой состоит в следующем.

Пусть из светящейся точки прямолинейно во всех направлениях распространяются лучи света. Если луч встречает на своем пути непрозрачное тело , то он задерживается на нем и не доходит до некоторого экрана . На последнем при этом образуется темная область , которую называют падающей тенью от тела (рис. 69).

Само тело при этом также оказывается разделенным на две части: освещенную и темную (неосвещенную). Темную часть тела называют его собственной тенью.

Г раницу падающей тени образуют точки пересечения с экраном лучей, касающихся поверхности тела и образующих световой конус с вершиной точке . Линия, вдоль которой эти лучи касаются поверхности тела, называется линией раздела света и тени.

В случае, представленном на рис. 69, освещение называется факельным, такое же название имеет и соответствующая тень. Подобного рода освещение возникает при использовании источников искусственного освещения: электрической лампочки в комнате, фонаря на улице, пламени свечи и т.п.

М ожно считать, что естественные источники (солнце, луна) находятся в бесконечности и лучи от них являются параллельными. Поэтому освещение, производимое пучком параллельных лучей, называют солнечным. Солнечное освещение показано на рис. 70.

Для того чтобы перейти к задачам на построение теней, условимся о том, как будем задавать лучи света на проекционном чертеже. При солнечном освещении такой световой луч можно задать прямой и ее проекцией на основную плоскость (рис. 71). Пусть требуется построить падающую тень от точки на основную плоскость (экран). Чтобы сама точка была определена, необходимо указать ее проекцию на основную плоскость. Построение тени сводится к отысканию точки пересечения прямой, проходящей через точку параллельно , и прямой, проходящей через точку параллельно . Заметим, что при этом отрезок является падающей тенью отрезка .

П ри факельном освещении на проекционном чертеже надо задать точку, являющуюся световым источником. Она определяется точкой и ее проекцией на основную плоскость (рис. 72). Здесь падающая тень точки – точка пересечения прямых и .

Я сно, что в качестве экрана можно выбирать не только основную плоскость. Наиболее интересные случаи построения теней имеют место именно тогда, когда приходится строить падающие тени на другие плоскости. (Например, падающую тень одного многогранника на поверхность другого.)

Задача 1. На рис. 73 изображены треугольная пирамида, ее высота и параллелепипед. Построить собственные и падающие тени этих непрозрачных фигур при заданном освещении.

Решение. Имеем дело с солнечным освещением. Прежде всего, найдем падающую тень параллелепипеда на основной плоскости . Падающей тенью ребра является отрезок , где , . Аналогично находятся падающие тени , ребер , соответственно. Отсюда следует, что – падающая тень грани , а – падающая тень грани (частично закрыта изображением параллелепипеда). Попутно отметим, что – собственная тень параллелепипеда.

Ч тобы найти падающие тени пирамиды на гранях параллелепипеда, найдем сначала ее падающую тень на основной плоскости . Это треугольник (, ), треугольник будет собственной тенью пирамиды. Проектирующая плоскость прямой пересекает грань параллелепипеда по отрезку . Проведя через точку прямую, параллельную , находим падающую тень вершины на верхнем основании параллелепипеда. Прямые , , проходящие через точку параллельно прямым , соответственно, определяют падающую тень пирамиды на верхнем основании параллелепипеда.

Остается найти падающую тень на боковой грани параллелепипеда. Для этого заметим, что – след плоскости на основной плоскости. Грань пересекает след в точке , а точка принадлежит плоскостям и . Отсюда заключаем, что плоскость пересекает боковое ребро параллелепипеда в точке , и строим падающую тень пирамиды на грани .

В практике возможны случаи построения теней фигур, освещенных несколькими источниками света. Рассмотрим, например, освещение двумя источниками. В этом случае образуются две собственных и две падающих тени, которые могут налагаться друг на друга. Общая часть двух падающих теней, т.е. тень, затененная от двух источников, называется полной тенью фигуры. Непересекающиеся части теней называются полутенями. Полутени по насыщенности менее интенсивны, чем полная тень, поскольку лучи каждого из источников света освещают соответствующую часть тени, образованной другим источником.

Задача 2. Построить собственную и падающую тень непрозрачного куба, освещенного двумя факельными источниками.

Решение. Пусть на проекционном чертеже куба первый световой источник задан точкой и ее проекцией на основную плоскость , второй источник – точками и (рис. 75).

Найдем падающую тень ребра куба на основную плоскость от первого источника. Для этого достаточно найти падающую тень вершины , это точка . Аналогично ищутся падающие тени , вершин , соответственно. Значит, падающей тенью грани служит четырехугольник , а падающей тенью грани – четырехугольник , который частично закрыт изображением куба. Падающая тень куба от первого источника света найдена. Собственной тенью куба от этого источника является на изображении грань .

Падающая тень от второго светового источника – многоугольник – находится аналогично. Собственной тенью куба от этого источника будут грани и .

П олная тень, т.е. общая часть падающих теней от разных источников света, на чертеже выделена более темной заливкой.