5.11’. Сформулировать многостадийную задачу без задержек в обслуживании заявок.

Пусть кроме условий I) - VII) в задаче Б.-Д. дополнительно выполняется условие:

VIII) для каждой заявки момент начала ее обслуживания на очередном приборе совпадает с моментом окончания ее обслуживания на предыдущем приборе.

Требуется в условиях обслуживания I) – VIII) найти расписание-перестановку, минимизирующую общее время обслуживания всех заявок.

Покажем, что сформулированная задача сводится к специальной задаче коммивояжера. В целях упрощения выкладок примем, что , то есть что в системе имеется 3 прибора.

Пусть - произвольная очередность обслуживания заявок. Обозначим через время ожидания прибора 3 между обслуживанием двух соседних в расписании заявок . Величины вычисляются по формулам

.

Введем еще значение как время ожидания прибора 3 на обслуживание заявки , начиная от момента 0 – начала обслуживания всех заявок. Нетрудно видеть, что общее время обслуживания всех заявок в очередности равно

.

Очевидно, первое слагаемое в этой сумме не зависит от порядка обслуживания и является величиной постоянной. Второе слагаемое зависит от очередности обслуживания и тем самым поиск оптимальной очередности сводится к поиску перестановки, которая минимизирует . Если принять, что и все представить на матрице

,

то очевидно, что решение задачи коммивояжера для этой матрицы ”расстояний” определит искомое оптимальное расписание для сформулированной задачи обслуживания. Оно получится из оптимального маршрута коммивояжера с началом в пункте 0 формальным удалением этого пункта.

5.12. Как строится дерево ветвлений в общей схеме ветвей и границ?

Ветвление. Должно существовать правило разбиения множества  на подмножества типа: так, чтобы .

Допускается пересечение множеств, получаемых в результате разбиения. После такого разбиения необходимо, чтобы правило ветвления позволило ветвить каждое из подмножеств , потом и т.д. Таким образом, в результате ветвления должно строиться (явно или нет) следующее дерево ветвлений и правило разбиения должно быть применимо к каждой висячей вершине дерева, соответствующей подмножеству с более чем одним элементом:

5.13. Сформулировать основное требование к способам вычисления нижних границ в методе ветвей и границ.

Вычисление нижней границы целевой функции. Для каждого подмножества , получаемого в результате ветвления, необходимо уметь вычислить нижнюю границу целевой функции на этом подмножестве, т.е. число , такое, что

для любых .

Пересчет оценок. Если для двух множеств и выполняется включение , то для целевой функции, очевидно, будет выполняться соотношение:

.

Можно считать, что при каждом разбиении множества на подмножество способ вычисления нижних границ подобран так, что, , то есть при ветвлении нижняя граница не убывает.

5.14. Описать схему метода ветвей и границ при максимизации множества допустимых решений.

Пусть требуется найти максимальное значение целевой функции

на конечном множестве  допустимых решений Х, т.е. найти