Уравнения фильтрования

Скорость фильтрования. Обычно ввиду небольшого размера пор в слое осадка и фильтровальной перегородке, а также малой скорости движения жидкой фазы в порах можно считать, что фильтрование протекает в ламинарной области. Как показывает опыт, при таком условии скорость филь­трования в каждый данный момент прямо пропорциональна разности дав­лений, но обратно пропорциональна вязкости жидкости фазы и общему гидравлическому сопротивлению слоя осадка и фильтровальной перегородки. Так как в общем случае в процессе фильтрования значения разности давлений и гидравлического сопротивления слоя осадка с течением времени изменяются, переменную скорость фильтрования (м/сек) выра­жают в дифференциальной форме:

(1)

В соответствии с изложенным основное дифференциальное уравнение

фильтрования имеет вид

(2)

где V – объем фильтрата, м³; S – поверхность фильтрования, м²; - продолжительность фильтрования, сек; - разность давлений, н/м²; - вязкость жидкой фазы суспензии, нсек/м²; – сопротивление слоя осадка; - сопротивление фильтровальной перегородки.

Уравнение (2) является частным случаем более общего закона, в соответствии с которым скорость процесса прямо пропорциональна движущей силе и обратно пропорциональна сопротивлению. В данном случае разность давлений представляет собой движущую силу, а общее сопротивление складывается из сопротивлений осадка () и фильтровальной перегородки (). Оба указанные сопротивления являются сложными функциями многих переменных. Так, величина тем больше, чем меньше пористость осадка и больше удельная поверх­ность составляющих его твердых частиц; на величину влияют также размер и форма частиц.

Из уравнений (1) и (2) следует, что и выражаются в м^-1. Величину в процессе фильтрования можно считать приблизи­тельно постоянной, пренебрегая некоторым возможным ее увеличением вследствие проникания в поры перегородки новых твердых частиц. Величина с возрастанием толщины слоя осадка изменяется от нуля в начале фильтрования до максимального значения в конце процесса.

Для интегрирования уравнения (2) необходимо установить зависимость между сопротивлением слоя осадка и объемом полученного филь­трата. Учитывая пропорциональность объемов осадка и фильтрата, обозначим отношение объема осадка к объему фильтрата через х₀. Тогда объем осадка будет равен х₀V. Вместе с тем объем осадка может быть выражен произведением , где — высота слоя осадка в м. Следовательно,

х₀V =

откуда толщина равномерного слоя осадка на фильтровальной перегородке составит

(3)

Сопротивление слоя осадка можно выразить равенством

(4)

где - удельное объемное сопротивление слоя осадка, м^-2.

Из равенства (4) следует, что величина характеризует сопротивление, оказываемое потоку жидкой фазы равномерным слоем осадка тол­щиной 1 м.

Подставив значение из равенства (4) в уравнение (2), полу­чим

= W = (5)

Нередко вместо х₀ используют отношение х_в массы твердых частиц, отложившихcя на фильтровальной перегородке, к объему фильтрата, а вместо г₀ применяют удельное массовое сопротивление осадка , т. е. сопротивление, оказываемое потоку жидкой фазы равномерным слоем твердых частиц, отложившихся на фильтровальной пере­городке в количестве 1 кг/м². Для перехода от объемных единиц к массовым достаточно в уравнении (5) заменить r₀х₀ на .

Приняв, что сопротивлением фильтровальной перегородки можно пренебречь = 0), с учетом равенства (3) из уравнения (5) найдем

(6)

При = 1 нсек/м², = 1 м и W = 1 м/сек величина . Таким образом, удельное сопротивление осадка численно равно разности давлений, необходимой для того, чтобы жидкая фаза с вязкостью 1 нсек/м² фильтровалась со скоростью 1 м/сек, сквозь слой осадка толщиной 1 м. Очевидно, что эта гипотетическая разность давлений, которая на практике не используется, должна быть очень велика. Для сильно сжимаемых осадков значение достигает 10¹² м^-2 и более.

Приняв V = 0, что соответствует началу фильтрования, когда на фильтровальной перегородке еще не образовался слой осадка, из уравне­ния (5) получим

(6a)

При 1 нсек/м² и W = 1 м/сек величина = . Это означает, что сопротивление фильтровальной перегородки численно равно разности давлений, необходимой для того, чтобы жидкая фаза с вязкостью 1 нсек/м² проходила сквозь фильтровальную перегородку со скоростью 1 м/сек. Для ряда фильтровальных перегородок величина имеет порядок 10¹⁰ м^-1.

Уравнение фильтрования при постоянной разности давлений. При = const и неизменной температуре для фильтра данной конструкции и выбранной фильтровальной перегородки все входящие в уравнение (5) величины, за исключением V и , постоянны. Проинтегрируем это уравнение в пределах от 0 до V и от 0 до :

(7)

или

Разделив обе части последнего уравнения на /2S, окончательно получим

(8)

Уравнение (8) показывает непосредственно зависимость продолжительности фильтрования от объема фильтрата; решая его относительно V, получим зависимость объема фильтрата от продолжительности филь­трования. Это уравнение применимо к несжимаемым и сжимаемым осадкам, поскольку при = const величины и х₀ также постоянны.

Из уравнения (5) следует, что при = const по мере увеличения объема фильтрата, а следовательно, и продолжительности фильтрования скорость фильтрования уменьшается.

Уравнение фильтрования при постоянной скорости процесса. Для фильтрования при постоянной скорости производную dV/d можно заме­нить равным отношением конечных величин V/. После такой замены, решая уравнение (5), относительно , находим

(9)

Умножив и разделив первое слагаемое правой части этого уравнения на и приняв во внимание, что постоянная скорость фильтрования

W = (10)

получим

(11)

Уравнение (11) показывает, что при W = const разность давлений возрастает по мере увеличения продолжительности фильтрования.

Это уравнение применимо к несжимаемым осадкам; при использовании его для сжимаемых осадков следует иметь в виду зависимость удель­ного сопротивления осадка от разности давлений.

Уравнение фильтрования при постоянных разности давлений и ско­рости. Такой вид фильтрования осуществим, если чистая жидкость фильтруется сквозь слой осадка неизменной толщины при постоянной разности давлений. Промывку осадка на фильтре способом вытеснения, когда над осадком находится слой промывной жидкости, можно рассматривать как фильтрование промывной жидкости сквозь слой осадка неизменной толщины при постоянных разности давлений и скорости.

Приняв в уравнении (5) в соответствии с равенством (3) вместо эквивалентную этому выражению толщину слоя осадка на фильтре и заменив в упомянутом уравнении dV/d на постоянное значение V/, при найдем

(12)

Это уравнение дает зависимость объема фильтрата от продолжительности фильтрования чистой жидкости, в частности промывной жидкости. Поскольку в рассматриваемом случае , уравнение (12) применимо для несжимаемых и сжимаемых осадков.