42. Применение принципа максимума, как проверочного условия

Пример 1. Пусть система имеет вид , .

Ограничения на управление имеют вид (модульные ограничения на управление).J(u)=(x(1))= –x₂(1)min.

Допустим, задано управление u(t) ≡ 1. Исследуем это управление на оптимальность с помощью принципа максимума.

H(x, ψ, u, t) = ψ₁u+ψ₂. .

Отсюда следует, что ψ₂(t)≡1. H(x, ψ, u, t) = ψ₁u+.

Найдем фазовую траекторию, которая соответствует выбранному управлению. При управлении u=1 получим

ψ₁(t)=1– t².

H(t, u)=(1– t²)u + t², 0t1, 2.

H(t,u) достигает своего максимального значения на управлении u(t)≡2.

Рис. 12.1. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина как проверочного условия

Исходное управление u(t)≡1 не удовлетворяет принципу максимума.. Если ограничения имеют вид 1, то исходное управление удовлетворяет необходимым условиям оптимальности

43.Применение принципа максимума для сведения задачи оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи.

Управление исключим из рассмотрения с помощью условия принципа максимума функции Н. Обозначим управление, которое доставляет максимум функции H при произвольных х, ψ, t, т.е.

.

Рассмотрим случай амплитудных ограничений. Допустим, что эта задача решена. Подставим в исходную и сопряженную системы. Получаем замкнутую систему 2n дифференциальных уравнений:

(12.4.1)

Краевые условия: . (12.4.2)

Получаем замкнутую систему 2n дифференциальных уравнений с 2n краевыми условиями. Полученная задача (12.4.1), (12.4.2) является конечномерной задачей поиска начальных значений для сопряженной системы ψ(t₀). Нужно найти такой вектор (t₀), чтобы выполнялось первое из условий (12.4.2).

Пусть x*(t), ψ*(t) решение краевой задачи (12.4.1), (12.4.2). Тогда управление u*(t)=(x*(t), ψ*(t), t)

Рис. 12.2. Применение принципа максимума Л.С. Понтрягина для выявления структуры оптимального управления

удовлетворяет принципу максимума и в общем случае подозрительно на оптимальность. Если удастся показать, что решение краевой задачи (12.4.1), (12.4.2) единственно, то уп-равление u*(t) и будет оптимальным управлением.

45. Принцип максимума л.С. Понтрягина для задач Больца, Лагранжа

Рассмотрим задачу Больца = f(x, u, t), x(t₀)=x⁰,

u(t)U, t₀ ≤ t ≤ t₁. (13.1.1)

J(u)=g(x(t₁)) +

Запишем необходимые условия оптимальности для задачи (13.1.1), используя результат, полученный для задачи терминального управления. Приведем задачу (13.1.1) к задаче терминального управления с помощью введения новой фазовой переменной x_n+1(t) =. = h(x, u, t), x_n+1(t₀) = 0.

Получаем задачу терминального управления, но размерности (n+1)

= f(x, u, t), x(t₀) = x⁰, = h(x, u, t), x_n+1(t₀) = 0, u(t)U. J(u) = g(x(t₁)) + x_n+1(t₁).

Запишем необходимые условия оптимальности для полученной задачи терминального управления:

H = H(x, ψ, ψ_n+1, u, t) = ψ´f(x, u, t) + ψ_n+1h(x, u, t).

Определим уравнение для ψ_n+1 . ψ_n+1(t₁) = -1.

Отсюда следует, что ψ_n+1(t) ≡ -1.

Тогда H(x, ψ, u, t) = ψ´f(x, u, t) – h(x, u, t) (13.1.2)

Сопряженная система для вектор-функции ψ имеет вид .

В общем случае это линейная неоднородная система. Для оптимальности управления необходимо, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума.

Следовательно, для формулировки необходимых условий оптимальности для задачи Больца (13.7.1) надо составить функцию Гамильтона Н вида (13.1.2). Для оптимальности допустимого управления u(t) необходимо, чтобы функция Гамильтона Н достигала максимума по всем допустимым управлениям.

Аналогично формулируется принцип максимума для задачи Лагранжа. Только в этом случае

ψ(t₁) = 0, (т.к. g(x(t₁)) = 0).

Теорема 13.. Для линейной задачи Больца =A(t)x + b(x, u), x(t₀) = x⁰, u(t)U, t₀ ≤ t ≤ t₁. J(u) = g(x(t₁)) + ,где g(x) и h₁(x, t) выпуклые по х функции, принцип максимума есть необходимое и достаточное условие оптимальности.