Раздел 3. Типовые динамические звенья

Как мы уже говорили в подразделе 2.3, любую САУ мы представляем как набор отдельных звеньев, соединенных между собой определенным образом.

В предыдущем разделе мы успешно рассмотрели способы описания линейны САУ и их математический аппарат

Как известно, основа математического описания любого элемента автоматики – дифференциальное уравнение, отражающее взаимосвязь входной и выходной величин

Мы в рамках нашего курса ограничимся рассмотрением д.у. 1 и 2 порядка: на практике этого, как правило, достаточно.

Здесь, как известно

, любые и могут быть нулевыми

Устройства, описываемые одинаковыми д.у. относятся к одному типу звеньев

Основные виды встречающихся в теории управления звеньев

• Позиционные

• Дифференцирующие

• Интегрирующие

3.1. Позиционные звенья

К позиционным звеньям относятся

1. звено безынерционное

2. звено апериодическое 1 порядка

3. звено апериодическое 2 порядка

Основным признаком позиционных звеньев является то, что их переходная характеристика в любой момент времени ограничена

, при

Рассмотрение позиционных звеньев начнем с апериодического звена 1 порядка

2. Передаточная функция имеет вид:

,

где - коэффициент передачи

- пост. Времени

К таким звеньям относятся усилитель мощности, исполнительный двигатель, фильтр нижних частот (RC)

1. Безынерционные звенья описываются передаточной функцией

Модно рассмотреть безынерционное звено как апериодическое 1 порядка, при

Примеры: широкополосный усилитель, дискриминатор, редуктор.

3. Апериодическое звено 2 порядка описывается ПФ:

Колебательное звено описывается ПФ

- коэффициент затухания

Если , то это – апериодическое звено 2 порядка.

Корни знаменателя – вещественные

Когда корни характеристического уравнения мнимые.

3.2. Дифференцирующие звенья

3.2.1. Идеальное дифференцирующее звено

Пример: тахогенератор: напряжение на выходе пропорционально скорости вращения. Следовательно, производной угла поворота.

3.2.2. Дифференцирующее звено с замедлением

(Инерционное дифференцирующее звено)

3.3. Интегрирующие звенья

3.3.1. Идеальное интегрирующее звено

Т.е. передаточная функции я такого звена

Редуктор. Если рассматривать как входную величину скорость вращения а выходную угол поворота

3.3.2. Интегрирующее звено с замедлением

(инерционное интегрирующее звено)

Можно рассмотреть как результат последовательного соединения апериодического и идеального интегрирующего звеньев.

Исполнительные двигатель, если входная величина – управляющее напряжение, а выходная – угол поворота оси

3.3.3. Изодромное звено

Результат параллельного соединения интегрирующего и безынерционного звеньев

Применяется для динамической коррекции САУ, для повышения качества их работы. Введение двух идеальных интеграторов невозможно из-за потери устойчивости. Если необходимо – вводят идеальное интегрирующее и изодронное звенья.

Возможность белее глубоко и полно анализировать функционирование САУ в реальных условиях дает применение статистических методов исследования САУ.

Практическая значимость этих методов реализовалась с развитием вычислительной техники, давшей возможность реализации сложных алгоритмов анализа и синтеза САУ.

Все статистические методы исследования основываются на математических моделях динамических систем, сигналов, помех, информационных и сопутствующих процессов.

Формирование математической модели начинается с введения системы координат и определения пространства состояний (или фазового пространства)

Понятие пространства состояний процесса или динамической системы соответствует заданной минимально необходимой совокупности параметров, содержащих вся информация о состоянии процесса или системы данный момент времени и дающих возможность судить об их поведении в будущем.

Сами параметры при этом называются параметрами состояния.

Описание процессов и систем в пространстве состояний возможно для:

- гауссовских и негауссовских

- линейных нелинейных

- непрерывных и декретных .

Совокупность переменных состояния есть вектор состояния.

Пусть задана динамическая система, описываемая дифференциальным уравнением

Где и входной и выходной сигналы.

Задаются начальные условия в момент времени : ,,

Для рассматриваемой системы в качестве переменных состояния можно принять собственно величину и n-1 ее производных, которые при заданных уравнении и начальных условиях полностью определяют состояние системы

В этом случае вектор состояния имеет вид:

Типовые задачи теории САУ – задачи анализа и синтеза

Статистическая формулировка задачи анализа: даны характеристики исследуемой динамической системы и процессов, действующих на входе; требуется определить характеристики процессов на выходе системы.

Статистическая формулировка задачи синтеза: даны характеристики входных процессов и требуемые характеристики процессов на выходе. Требуется определить облик динамической системы, которая бы наилучшим образом преобразовывала заданные входные процессы в выходные.

Пространство состояний можно интерпретировать графически ортогональным пространством размерности n

Состоянию системы в произвольный момент времени t соответствует конкретная точка пространства состояний изображающая точки системы.

С изменением времени эта точка описывает некоторую траекторию, называемой фазовой траекторией С.

Совокупность фазовых траекторий, полученных из различных начальных условий, называют фазовым портретом системы.

ФП позволяет оценить свойства системы.