Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию задать на множестве натуральных чисел , то множество значений функции будет счетным и каждому номеру ставится в соответствие число . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа называют элементами или членами последовательности, а число – общим или –м членом последовательности. Каждый элемент имеет последующий элемент . Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером , т.е. указанием формулы ее ‑го члена .

Пример. Последовательность может быть задана формулой: .

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее -го члена.

Пример. Последовательность ‑ это последовательность

Множество всех элементов последовательности обозначается .

Пусть и ‑ две последовательности.

Суммой последовательностей и называют последовательность , где , т.е. .

Разностью этих последовательностей называют последовательность , где , т.е. .

Если и ‑ постоянные, то последовательность , называют линейной комбинацией последовательностей и , т.е.

.

Произведением последовательностей и называют последовательность с -м членом , т.е. .

Если , то можно определить частное .

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей и называются их алгебраическими композициями.

Пример. Рассмотрим последовательности и , где . Тогда , т.е. последовательность имеет все элементы, равные нулю.

, , т.е. все элементы произведения и частного равны .

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности . Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности , то новую последовательность называют остатком.

Последовательность ограничена сверху (снизу), если множество ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .

Число называют пределом последовательности . При этом записывают или .

Пример. .

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство выполняется для , такого, что , что определение сходимости выполняется для числа . Значит, .

Иными словами означает, что все члены последовательности с достаточно большими номерами мало отличается от числа , т.е. начиная с некоторого номера (при ) элементы последовательности находятся в интервале , который называется –окрестностью точки .

Последовательность , предел которой равен нулю (, или при ) называется бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

• Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

• Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где – постоянная; – бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2. Сходящаяся последовательность ограничена;

3. Если , то ;

4. При любых постоянных и ;

5. _;

6. Если , и , то ;

7. Если , то ;

8. Если и , то ;

9. Если , то .

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени числителя и знаменателя).

Последовательность называется:

• возрастающей, если ;

• строго возрастающей, если ;

• убывающей, если ;

• строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.