4. Транспортная задача Постановка задачи

        Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом.

            Имеется  m  пунктов производства (поставщиков) и n  пунктов

потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:

 - объем производства (запас) i-го поставщика,  i=1, m  ;

 - объем потребления   (спрос) j-го потребителя, i=1, n ;

  - стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукта от i-го поставщика к  j-му потребителю.

            Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос

всех потребителей был бы выполнен и при этом общая стоимость всех

перевозок была бы минимальна.

            Математическая модель транспортной задачи имеет вид

                       

Транспортная задача, в которой суммарные запасы

                                              

и суммарные потребности

                                              

совпадают, называется закрытой моделью;  в противном случае - открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.

            В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные

потребности, т.е.

                                              

вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого

                                              

В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные

запасы,  т.е.

                                              

, вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого

                                              

Методы решения

1. Метод северо-западного угла

            Рассмотрим "северо-западный угол" незаполненной таблицы, то

есть клетку, соответствующую первому поставщику и первому потребителю.

            Возможны три случая.

           

Это означает, что первый поставщик отгрузил весь произведенный продукт первому потребителю и его

запас равен нулю, поэтому

                                  

При этом неудовлетворенный спрос в первом пункте потребления равен

                                  

           

то есть спрос первого потребителя полностью удовлетворен и поэтому                   

а остаток продукта в первом пункте производства равен

                                  

           

из рассмотрения можно исключить и поставщика, и потребителя. Однако при атом план получается вырожденным,

поэтому условно считается, что выбывает только поставщик,

                       

а спрос потребителя остается неудовлетворенным и равным нулю.

                                  

            После этого рассматриваем северо-западный угол оставшейся не-

заполненной части таблицы и повторяем те же действия. В результате

через n+m-1   шагов получим опорный план.

Пример

            Найти опорный план транспортной задачи

                                  

В таблице, обведенной двойной чертой , указаны объемы перевозок, полученные методом северо-западного угла. При этом небазисные нулевые перевозки не проставлены. Справа и внизу таблицы содержатся последовательно меняющиеся объемы возможных запасов и спросов. В число базисных вошла нулевая перевозка , так как на предыдущем шаге                                   

и по п.3 метода считается выбывшим только поставщик, а неудовлетворенный спрос второго потребителя равен