2.5.Оценка параметров уравнения и тесноты связи.

Оценка надежности параметров уравнений регрессии и показателей тесноты связи необходима, т.к. расчеты данных показателей проводятся, как правило, по выборочным данным, и могут быть расхождения между генеральными и выборочными характеристиками.

Точность коэффициента регрессии - параметра а₁ - оценивается по t-критерию Стьюдента:

(7.24)

для оценки параметра а₀ используют формулу:

, (7.25)

где а₁, а₀ - расчетные значения параметров;

n - количество пар значений признаков х и у;

- остаточная дисперсия, которая рассчитывается следующим образом:

. (7.26)

- дисперсия факторного признака, рассчитываемая по формуле:

. (7.27)

расчетные значения t-критериев сравнивают с табличными значениями для заданного уровня значимости α. Уровень значимости α показывает вероятность того, что рассчитанные показатели попадут в предельные интервалы. Вероятность равна:

. (7.28)

например, при уровне значимости 0,01 вероятность расчетов определяется из формулы (7.32):

.

Р = 0,995 означает, что в 995 случаях из 1000 рассчитанные показатели попадут в теоретические пределы.

Коэффициент корреляции оценивается при помощи t-критерия Стьюдента:

, (7.29)

где r - расчетное значение коэффициента корреляции.

Индекс корреляции надежен в тех случаях, если расчетное значение F-критерия Фишера больше его табличного значения.

, (7.30)

где m - число параметров уравнения регрессии;

n - количество пар значений признаков х и у.

3. Метод сравнения параллельных рядов.

Помимо коэффициента и индекса корреляции для определения тесноты связи используются и другие, менее точные показатели, например, коэффициент корреляции рангов Спирмэна. Этот показатель рассчитывается на основе метода выстраивания параллельных рядов и ранжирования значений «х» и «у».

Коэффициент Спирмэна определяется по формуле:

, (7.31)

где d - разность рангов (порядковых номеров) признаков х и у;

n - количество пар значений х и у.

Коэффициент Спирмэна может принимать значения от -1 до 1. Чем ближе значение «» к 1, тем сильнее связь. Если «» равен 0, связь отсутствует, если «» равен 1 – связь функциональная. Знак показывает направление связи, если «-» - связь обратная, т.е.при возрастании «х» уменьшается значение «у».

Пример расчета коэффициент корреляции рангов Спирмэна.

На основе данных табл. 7.2 выявите наличие связи между возрастом оборудования и затратами на ремонт. В качестве показателя тесноты связи используйте коэффициент корреляции рангов Спирмэна.

Таблица 7.2

Номер пред­при­ятия	Возраст обо­рудования, лет	Затраты на ремонт, тыс. руб.	Номер пред­при­ятия	Возраст обору­дования, лет	Затраты на ремонт, тыс. руб.
1	4	1,5	6	10	4,0
2	5	2,0	7	8	2,3
3	5	1,4	8	7	2,5
4	6	2,3	9	11	6,6
5	8	2,7	10	6	1,7

Решение. в данном примере в качестве факторного признака «х» выступает возраст оборудования, в качестве результативного «у» - затраты на ремонт.

Для расчета коэффициента корреляции рангов необходимо проранжировать «х» и «у» и сравнить полученные порядковые номера. Для этого воспользуемся табл. 7.3.

При ранжировании данных часто встречаются признаки с одинаковым значением. В этом случае ранг каждого признака определяется как средняя из порядковых номеров. Например, у заводов 5 и 7 одинаковое значение признака х. В этом случае предполагают, что их порядковые номера будут равны 7 и 8, а обоим заводам присваивается одинаковый ранг - 7,5. Следующей по величине признак будет иметь ранг 9.

Таблица 7.3

№ п/п	х	у	ранг х	ранг у	разность рангов, d	d2
1	2	3	4	5	6	7
1	4	1,5	1,0	2,0	-1,0	1,00
2	5	2,0	2,5	4,0	-1,5	2,25
3	5	1,4	2,5	1,0	1,5	2,25
4	6	2,3	4,5	5,5	-1,0	1,00
5	8	2,7	7,5	8,0	-0,5	0,25
6	10	4,0	9,0	9,0	0	0
7	8	2,3	7,5	5,5	2,0	4,00
8	7	2,5	6,0	7,0	-1	1,00
9	11	6,6	10,0	10,0	0	0
10	6	1,7	4,5	3,0	1,5	2,25
Итого	70	27,0	х	х	х	14,0

Определим значение коэффициента корреляции рангов Спирмэна по формуле (7.31):

.

Таким образом, значение ρ свидетельствует, что между возрастом оборудования и затратами на ремонт существует тесная прямая связь, т.е. с увеличением возраста оборудования растут и затраты на ремонт оборудования.