2. Корреляционно-регрессионный метод анализа связей.

Корреляционно-регрессионный метод– один из самых популярных методов анализа связей, позволяющий выявить наличие связи между явлениями, определить тесноту и силу этой связи, подобрать математическую функцию, позволяющую наиболее точно описать связь и проверить надежность произведенных расчетов.

2.1.Виды стохастических зависимостей и уравнений регрессии.

На первом этапе проведения корреляционно-регрессионного анализа необходимо определить вид стохастической зависимости и выбрать самые подходящие уравнения регрессии.

В статистике различают парные и множественные стохастические зависимости.

При парной зависимости на результативный признак «у» оказывает влияние только один факторный признак «х». В жизни такая ситуация встречается крайне редко, но при проведении статистических исследований выбирают один наиболее значимый факторный признак, абстрагируясь от возможного влияния других.

Если зависимость множественная, на один результативный признак «у» влияет несколько факторных признаков «х₁», «х₂», «х₃» и т.д.

Уравнения регрессии – это математические функции, которые позволяют зависимость изменения среднего уровня результативного признака от изменения среднего уровня факторного признака. Эти уравнения позволяют установить характер связи между признаками и могут иметь линейный или криволинейный вид.

Линейная форма связи предполагает равномерное изменение результативного признака под влиянием факторного признака. Уравнение линейной регрессии при парной корреляции имеет вид:

= а₀ + а₁х (7.5)

где - выровненные (теоретические) значения результативного признака;

х – значения факторного признака;

а_0, а₁ - параметры уравнения регрессии.

Уравнение линейной регрессии при множественной корреляции имеет вид:

(7.6)

Линейная форма связи делится на прямую и обратную. При прямой форме с возрастанием факторного признака возрастает и результативный признак, при обратной форме связи с ростом факторного признака результативный признак уменьшается.

Помимо линейных зависимостей, в экономике часто встречаются и криволинейные, которые описываются различными уравнениями:

Гиперболические = а₀ + а₁ (7.7)

Параболические = а₀ + а₁х + а₂х² (7.8)

Показательные (7.9 )

Полулогарифмические (7.10 )

Степенные (7.11)

Выбор уравнения регрессии – первый этап корреляционно-регрессионного анализа. На втором этапе необходимо рассчитать параметры выбранного уравнения регрессии.

2. Определение параметров корреляционного уравнения.

Для расчета параметров уравнения регрессии используют метод наименьших квадратов:

(7.12)

где у - реальные значения результативного признака.

Базируясь на методе наименьших квадратов, можно составить различные системы нормальных уравнений для расчета параметров а₀, а₁ и т.д. для любого уравнения регрессии. Для уравнения прямой:

(7.13)

Для определения параметров уравнений может использоваться либо способ решения системы уравнений, либо способ определителей.

По способу определителей параметры уравнения прямой находятся следующим образом:

(7.14)

(7.15)

Параметр а₁ называется коэффициентом регрессии и показывает направление связи между факторным и результативным признаками. Если а₁ имеет положительное значение, связь прямая, если отрицательное – связь обратная, т.е. с возрастанием факторного признака результативный уменьшается.

Для проверки правильности расчетов параметров уравнения регрессии используется следующее равенство:

(7.16)

Выбор уравнения, наиболее точно описывающего связь между факторным и результативным признаками, осуществляется при помощи остаточной дисперсии :

. (7.17)

Наиболее точным считается то уравнение, у которого остаточная дисперсия имеет наименьшее значение.