7. Тунельный эффект

Рассмотрим прямоугольный потенциальный барьер высотой Uо и шириной I. Пусть частица совершает одномерное движение вдоль оси X. Потенциальная энергия частицы U = U(х) изображена на рис. 3

.

(область I)

U= (область 2)

(область 3)

Рис. 3

В классической механике чйстица, обладая энергией Е > Uo, беспрепятственно пройдет над барьером, если же энергия частицы Е < И о , то частица никогда на пройдет через барьер, она отра­зится от него и будет двигаться в обратную сторону.

В квантовой механике даже при E-<U0 имеется отличная от ну­ля вероятность проникновения частицы через потенциальный барьер. Эффект .такого "просачивания" называется тунельным эффектом. Тунельный эффект - чисто квантовое явление, связанное с тем, что частицы обладают волновыми свойствами. Объяснить тунельный эффект можно основываясь на решении уравнений Шредингера, ко­торое для каждой из выделенных на рис. 3 областей имеет вид

(для области 1 и 3), (21)

(для области 2).

Общие решения дифференциальных уравнений;(21)

(для области 1) (22)

(для области 2) (23)

(для области 3) (24)

где ; . Первое слагаемое в (22) представляет плоскую волну, раопространящуюся в сторону барьера (падающую волну), второе - волну, отраженную от барьера. Коэффициент в (22) связан с интенсивностью пучка частиц, движущихся к барьеру. Положим . В области 3 есть только волна, прошедшая через барьер, поэтому коэффициент в3 в формуле (24) следует принять равным нулю.

Таким образом, решения уравнения Шредингера для трех областей имеют вид:

(для области 1)

(для области 2) (25)

(для области 3)

Качественный вид функций (25) показан на рис. 3.

Из рис. 3 видно, что волновая функция отлична от нуля в области 3. Следовательно, частица тлеет отличную от нуля вероятность прохождения через потенциальный барьер конечной ширины.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, который определяется как отношение интенсивности прошедших через потенциальный барьерчастиц к интенсивности падающих частиц. D = .Для прямоугольного барьера

(26)

Туннельный эффект играет заметную роль, когда прозрачность барьера не очень мала. Это бывает в тех случаях, когда l соизмерима с атомными размерами. Так, при Uо-E= 10 эВ для электрона при l ~ 10^-10 м прозрачность D ≈ 0,37. Как следует из (26), D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и разности

Uo-E.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как при Е<Ц должна быть отрицательной кинетическая энергия частицы. Однако туннельный эффект - явление чисто квантовое, не имеющее аналога в классической физике. Как отмечалось в. 2, в квантовой механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит соотношению неопределенностей. Действительно, если частица обладает определенной кинетической энергией, то это равнозначно тому, что она имеет определенный импульс. Аналогично, если частица имеет определенную потенциальную энергию Ц,, то это значит, что координата частицы точно задана. А так как координата и импульс частицы не могут иметь одновременно определенных значений, значит кинетическая и потенциальная энергии не могут быть точно определены. Поэтому ясно, что заключение об отрицательности кинетической энергии становится в данном случае беспочвенным.

8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЩ ДНЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕШ "ЭЛШШТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Решение задач по данной теме содержит большой объем вычислительной работы. Облегчить ее позволяет использование ЭВМ. С этой целью разработан пакет программ, включающий алгоритмы расчета и моделирования следующих задач:

изучение волновых свойств частиц;

применение 'соотношения неопределенностей для оценки порядка физических величин микромира;

расчет волновых функций и моделирование поведения микрочастицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками";

4) моделирование процесса прохождения частицы через прямоугольный потенциальный барьер, расчеты коэффициента прозрачности барьера D и исследование зависимости D от ширины барьера, массы и энергии налетающей частицы.

После проработки теоретического материала предлагается, используя данный пакет программ, завершить изучение теш моделированием и расчетными упражнениями на ЭВМ. Задание на эту работу содержится в инструкции на рабочем месте.

Литература

Трофимова Т.И. Курс физики. -М.: Высшая школа, 1985, § 213-221.

Савельев И.В. itypc общей физики.-Т. 3. - М.: Наука, 1982, § 18-23, 26.

Волновые свойства частиц были обнаружены в экспериментах, типичных для световых волн: в дифракционных и интерференционных явлениях. Определим длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов . В этом случае его энергия равна , а импульс – , поэтому

или нм. (3)

В последнем выражении для значение берется в вольтах. Из формулы (3) видно, что электронам с энергиями порядка нескольких электронвольт соответствуют длины волн де Бройля порядка нескольких нанометров (порядка длин волн рентгеновских лучей). Поэтому для наблюдения дифракции электронов следует использовать кристаллические решетки, расстояние между узлами которых порядка нескольких нанометров.

Опыты по дифракции пучков электронов на кристаллах были проведены Дэвиссоном и Джермером, Томсоном и Тартаковским. В опытах Бибермана, Сушкина и Фабриканта было доказано, что не только электронные пучки, но и каждый отдельный электрон обладает волновыми свойствами. Описание этих экспериментов приведено в § 213 [l], в § IS [2].