6. Частщл в одномерной прямолхжной "потенцимшой яме" 0 бесконечно высокими "стенками

"Потенциальной ямой" называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы U меньше некоторого значения Uo. Если потенциальная энергия частицы вне и внутри "потенциальной ямы" имеет следующие значения (рис. I)

(12) то говорят, что частица находится в одномерной "потенциальной яме" бесконечно?!! глубины.

Для одномерного движения частица внутри "потенциальной ямы", где U = 0, стационарное уравнение Шредингера (II) имеет вид:

Общее решение этого уравнения есть

, (13)

где а и в - постоянные,

(14)

Вероятность найти частицу вне "потенциальной ямы" равна нулю. Это означает, что вне области (вне "ямы") .Чтобы волновая функция была непрерывна, на границах "ямы" (при х = 0 и х = l) она должна обращаться в нуль, т.е. должны выполняться условия.

(15)

Равенства (15) называются граничными условиями.

Из первого граничного условия ,(15) для волновой функции (13) следует, что . Тогда

(16)

Второе граничное условие выполняется только при

(17)

Подставляя выражение (14) в условие (17), получаем

, n = 1, 2 … (18)

Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в бесконечно глубокой "потенциальной яме", удовлетворяется только при собственных значениях. Еn, зависящих от целого числа n. Следовательно, в этом случае энергия En частицы не может быть произвольной, а принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n , определяющее Еn,. называется квантовым числом. Итак, микрочастица в "потенциальной яме" с беско­нечно высокими "стенками"; может иметь только дискретный ряд зна­чений энергии Еn, или, как говорят, может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn.

Постоянную a- в выражений (16) определим из условия нормировки (8), которое для данного случая с учетом (17) запишется в виде

В результате интегрирования получим .Таким образом, собственные функции будут иметь вид:

, n = 1, 2, 3 … (13)

Графики собственных функций (19), соответствующие уровням энергии (18) при n =1, 2 и 3, приведены на рис. 2а. На рис. 26 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы", равная для n = I, 2 и 3 Из рисунка следует, что, например, в квантовом со­стоянии с (1 = 2 частица не может находиться в середине "ямы", в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представле­ние о траекториях частицы в квантовой, механике не состоятельно.

Из формулы. (18) следует, что микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" не может иметь энергию

Рис. 2

остальные уровни

меньшую, чем минимальная энергия частица никогда не может опуститься на "дно ямы*. Этот результат следует из соотношения неопределенностей (4). Неопределенность координаты х частицы в "яме" шириной lравна . Тогда, согласно соотношению неопределенностей (4), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое значение. Неопределенность импульса . Такому разбросу значений импульса соответствует

кинетическая энергия

( n > I) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из выражения (18) вытекает также, что энергетический интер­вал между двумя соседними уровнями равен

(21)

При больших квантовых числах (n >>1) , т.е.

соседние уровни расположены близко друг к другу: тем ближе, чем больше П . Если Я очень велико,, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов - дискретность - сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.