§2.3. Обобщенная линия передачи без потерь. Трансформация полного сопротивления и коэффициента отражения вдоль линии передачи

Рассмотрим линию передачи без потерь, нагруженную произвольной нагрузкой , как показано на рис. 2.4. Данная задача иллюстрирует явление отражения волн в линиях передачи, являющееся фундаментальным свойством распределенных систем.

Предположим, что генератор, расположенный в области z < 0, выдает падающую волну вида . Выше мы показали, что отношение напряжения к току в бегущей по однородной линии передачи волне равно характеристическому сопротивлению линии передачи , однако в рассматриваемом случае отношение напряжения к току в точке подключения нагрузки должно равняться сопротивлению нагрузки . Таким образом, для удовлетворения указанному условию неоходимо наличие отраженной волны. В результате полное напряжение в линии передачи может быть выражено, согласно (2.14а) как

, (2.31а)

а, ток согласно (2.14б)

. (2.31б)

При этом отношение напряжения к току в нагрузке для z = 0 имеет вид

.

Откуда можно получить выражение для амплитуды

.

Напряжение отраженной волны, нормированное к напряжению падающей волны, называется коэффициентом отражения по напряжению, :

. (2.32)

С учетом коэффициента отражения, выражения для полного напряжения и тока в линии передачи принимают вид

, (2.33а)

. (2.33б)

Последние выражения показывают, что полное напряжение и полный ток в линии передачи представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн, которая называется стоячей волной. Отраженная волна, отсутствует при , что возможно согласно (2.32), если . Нагрузка, удовлетворяющая условию отсутствия отраженной волны, называется согласованной нагрузкой.

Рассмотрим теперь поток средней за период мощности, протекающий через сечение z, согласно (2.33):

.

Легко видеть, что сумма второго и третьего слагаемых в скобках представляет собой число вида , т.е. чисто мнимое число, что приводит к окончательному результату

. (2.34)

Выражение (2.34) показывает, что поток средней мощности - постоянная величина для всех точек линии передачи, а полная мощность поступающая в нагрузку равна разности мощностей падающей и отраженной волн . Очевидно, что в случае в нагрузку поступает максимальная мощность, а при мощность в нагрузку не поступает¹.

Если нагрузка согласована с линией передачи (), то амплитуда сигнала вдоль линии передачи является постоянной величиной. Такой режим работы линии называется режимом бегущей волны. В случае отсутствия согласования нагрузки и линии передачи, наличие отраженной волны приводит к образованию стоячих волн. При этом значение амплитуды напряжения изменяется вдоль линии передачи согласно (2.33а)

, (2.35)

здесь расстояние от нагрузки при z = 0,  - фаза коэффициента отражения (). Формула (2.35) показывает, что амплитуда напряжения колеблется вдоль линии передачи в зависимости от координаты z. При этом максимальное значение напряжения достигается, когда , и равно

, (2.36а)

минимальное значение соответствует и определяется выражением

. (2.36б)

Очевидно, что с ростом , также растет отношение к , поэтому можно определить меру рассогласования линии, широко применяемую в практической сфере разработки СВЧ-устройств, называемую коэффициентом стоячей волны по напряжению - КСВН

. (2.37)

Из (2.37) следует, что КСВН - это действительная величина из диапазона , где КСВН = 1 обозначает идеальное согласование устройств.

Обратимся вновь к (2.35). Откуда следует, что расстояние между двумя соседними максимумами (минимумами) напряжения стоячей волны , а расстояние между минимумом и максимумом - , где  - длина волны в линии.

Коэффициент отражения в (2.32) был определен в точке подключения нагрузки (l = 0), обобщим теперь выражение для коэффициента отражения на случай произвольного расстояния от нагрузки l, из (2.31а) следует при z = - l

, (2.38)

здесь Г(0) - коэффициент отражения в нагрузке.

Определим теперь входное сопротивление линии передачи в произвольной точке z = - l:

, (2.39)

где для напряжения и тока использованы выражения (2.33). Преобразуем (2.39) к виду, содержащему только сопротивления линии и нагрузки, подставив в (2.39) значение коэффициента отражения из (2.32):

. (2.40)

Таким образом, мы получили общее выражение для входного сопротивления линии передачи произвольной длины, нагруженной произвольной нагрузкой. Рассмотрим теперь ряд специальных случаев линии передачи, которые мы будем использовать в дальнейшем.