- •К.С.Лялин, д.В.Приходько Электродинамика свч
- •Введение
- •Часть I. Теория электромагнитного поля.
- •§1.1. Уравнения Максвелла, как метод описания электромагнитного поля в однородных средах.
- •§1.2. Электромагнитные поля в различных средах и граничные условия электродинамики.
- •Общий случай границы раздела сред.
- •Граница раздела диэлектриков.
- •Поле на поверхности идеального электрического проводника («электрическая стенка»).
- •Поле на поверхности идеального магнитного проводника («магнитная стенка»).
- •Поле на бесконечности («условие излучения»).
- •§1.3. Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойнтинга.
- •§1.4. Излучение электромагнитных волн. Волновые уравнения. Электродинамические потенциалы и векторы Герца.
- •§1.5. Понятие о зонах излучения и диаграмме направленности источника электромагнитных волн
- •Понятие о диаграммах направленности
- •Поляризационные характеристики поля
- •§1.6. Элементарные излучатели Электрический вибратор
- •Магнитный вибратор
- •Элемент Гюйгенса
- •§1.7. Электромагнитные волны: плоские, сферические, цилиндрические – решения волнового уравнения
- •Плоские волны
- •Сферическая волна
- •Цилиндрическая волна
- •Особенности распространения волн в различных средах
- •§1.8. Отражение плоской волны от границы раздела сред. Нормальное падение
- •Общие соотношения
- •Среды без потерь
- •Проводник с конечной проводимостью.
- •Идеальный проводник.
- •Понятие о поверхностном сопротивлении. Скин-эффект.
- •§1.9. Отражение плоской волны от границы раздела диэлектриков при произвольном угле падения
- •Параллельная поляризация
- •Перпендикулярная поляризация
- •Полное отражение и поверхностные волны.
- •§ 1.10. Важные теоремы
- •Принцип взаимности
- •Метод зеркальных отображений
- •Часть II. Теория линий передачи
- •§ 2.1. Применение теории цепей для анализа линий передачи
- •Волны напряжений и токов в линии передач
- •Линия передачи без потерь
- •§2.2. Применение теории электромагнитного поля для анализа линий передачи
- •Параметры линии передачи
- •Вывод телеграфных уравнений из уравнений Максвелла для коаксиальной линии
- •§2.3. Обобщенная линия передачи без потерь. Трансформация полного сопротивления и коэффициента отражения вдоль линии передачи
- •Короткое замыкание на конце линии
- •Холостой ход на конце линии
- •Полуволновый повторитель и четвертьволновый трансформатор
- •Соединение линий передачи с различными характеристическими сопротивлениями
- •§ 2.4. Диаграмма Смита
- •Диаграмма полных проводимостей.
- •Методика измерения полного сопротивления
- •§2.5 Понятие о согласовании сопротивлений
- •§2.6. Согласование посредством сосредоточенных параметров
- •Согласующие цепи на реактивных элементах
- •§2.7. Четвертьволновый трансформатор сопротивлений
- •§2.7. Многосекционные трансформаторы
- •Биномиальный многосекционный трансформатор
- •Многосекционный трансформатор Чебышева
- •§2.8. Шлейфные трансформаторы сопротивлений
- •Одношлейфовый трансформатор
- •Двухшлейфовый трансформатор
- •§2.9. Обобщенная линия передачи с потерями
- •Линия с низкими потерями
- •Линия передачи сигналов без искажений
- •Параметры нагруженной линии с потерями
- •Применение метода возмущений для определения постоянной затухания
- •Часть III. Электромагнитные волны в направляющих системах
- •§3.1. Классификация линий передачи и их основные характеристики
- •§3.2. Общая теория регулярных линий передачи произвольного поперечного сечения. Поперечные и волноводные волны.
- •Поперечные (tem) электромагнитные волны
- •Волноводные волны h- и e-типов
- •Влияние затухания в диэлектрике
- •§3.3. Двухпластинчатый волновод
- •Поперечные tem-волны
- •§3.3. Прямоугольный волновод
- •§3.4. Круглый волновод
- •§3.5. Двухпроводная линия передачи
- •§3.6. Коаксиальная линия передачи
- •Поперечные tem-волны
- •Высшие типы колебаний
- •§3.7. Поверхностные волны в металлизированной с одной стороны диэлектрической подложке
- •§3.8. Полосковые и микрополосковые линии передачи
Часть I. Теория электромагнитного поля.
В разделе даны основные образы явлений, связанных с электромагнитным полем, в однородных средах и на границах раздела сред с разными характеристиками. Приведены основные характеристики сред, важные при проектировании высокочастотных устройств. Дана математическая форма записи указанных явлений и приведены некоторые математические приемы решения получаемых уравнений.
Все введенные в данном разделе понятия будут нами использоваться в последующих главах книги.
§1.1. Уравнения Максвелла, как метод описания электромагнитного поля в однородных средах.
Все электромагнитные явления, относящиеся к макроскопической электродинамике, описываются уравнениями Максвелла, опубликованными в 1873 г. в знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» [1]. Эта работа явилась обобщением всех накопленных к тому времени экспериментальных данных собранных Гауссом, Ампером, Фарадеем и многими другими. Для начинающих более пригоден исторический подход в изложении материала, т.к. он наиболее нагляден и прост. Однако, нами предполагается, что читатель уже прослушал курсы «общей физики» и «электротехники» и знаком с экспериментальными данными и их теоретической интерпретацией. В качестве хороших пособий для первоначального ознакомления можно порекомендовать следующие [4 - 6].
В данной книге уравнения Максвелла будут использоваться нами как средство для исследования электромагнитных явлений, свойства которых будут выведены из них, поэтому в начале мы постулируем эти уравнения. В международной системе Си они имеют следующий вид:
, (1.1а)
, (1.1б)
, (1.1в)
(1.1г)
При этом входящие в уравнения векторные величины имеют следующие размерности:
- напряженность электрического поля, В/м;
- напряженность магнитного поля, А/м;
- вектор электрической индукции, Кл/м2;
- вектор магнитной индукции, Вб/м2 или Тл;
- объемная плотность магнитного тока (фиктивная величина), В/м2;
- объемная плотность электрического тока, А/м2;
- объемная плотность электрического заряда.
Источниками электромагнитного поля являются токи и , а также электрические заряды с объемной плотностью . Магнитный ток есть математическая абстракция, он в природе не существует, однако, его введение позволяет упростить вычисления поля при возбуждении колебаний поля в раскрывах антенн или волноводов. Поскольку ток есть движение электрических зарядов, то можно сказать, что электрические заряды являются единственными источниками электромагнитного поля (магнитные заряды пока не были обнаружены).
В вакууме существует простая связь между векторами магнитной и электрической индукции и векторами напряженностей магнитного и электрического полей соответственно:
, (1.2а)
, (1.2б)
здесь Гн/м – абсолютная магнитная проницаемость вакуума, Ф/м – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума. В следующем разделе мы покажем, какое влияние вещество, в отличие от вакуума, оказывает на характер поля в нем.
Выражения (1.1а – 1.1г) не являются независимыми. Например, если взять дивергенцию от обеих частей уравнения (1.1а) и учесть, что дивергенция ротора равна нулю, можно получить:
,
а поскольку магнитные заряды отсутствуют, то , что приводит нас к выражению , т.е. к уравнению (1.1г). Если применить операцию дивергенции к уравнению (1.1б) и учесть тождество (1.1в), то можно получить уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда:
, (1.3)
т.е. поток вектора плотности электрического тока, в заданной точке пространства, определяется изменением объемной плотности электрического заряда в этой точке. Именно закон сохранения заряда навел Максвелла на мысль о необходимости введения тока смещения в уравнение (1.1б).
Как известно операция дифференцирования не может быть выполнена в областях, где параметры среды испытывают скачек, поэтому для описания подобного рода явлений применяют уравнения Максвелла в интегральной форме. Эти уравнения могут быть получены из уравнений (1.1а – 11.г), путем интегрирования последних, с применением известных тождеств векторного анализа. В частности применение теоремы Остроградского-Гаусса к уравнениям (1.1в) и (1.1г) дает
, (1.4)
, (1.5)
здесь Q – заряд, сосредоточенный в замкнутом поверхностью S объеме V. Применение же теоремы Стокса к уравнению (1.1а) приводит нас к уравнению
, (1.6)
которое без вектора представляет собой закон Фарадея и является основой для второго закона Кирхгофа. При этом в уравнении (1.6) C представляет собой замкнутый контур, охватывающий поверхность S, как показано на рис. 1.1.
Рис.1.1. Поток магнитной индукции через поверхность S.
Закон Ампера может быть получен путем применения теоремы Стокса в уравнению (1.1б):
, (1.7)
где полный электрический ток через поверхность S.
Представленные уравнения справедливы для переменных полей любого вида, однако, в данном пособии мы будем рассматривать гармонические поля в установившемся режиме. В этом случае очень удобно использовать метод комплексных амплитуд, в котором зависимость от времени описывается множителем . Рассмотрим данный метод.
Пусть колебание электрического поля, происходящее в направлении оси x, имеет следующий вид
, (1.8)
где A действительная амплитуда сигнала, - круговая частота, - начальная фаза сигнала в момент времени , тогда с применением метода комплексных амплитуд можно записать:
. (1.9)
При этом
. (1.10)
Если же колебания электрического поля имеют составляющие вдоль всех осей:
, (1.11)
то с помощью комплексных амплитуд можно записать
, (1.12)
Во многих задачах требуется рассчитать среднюю мощность или энергию электромагнитного поля. Как известно эти величины пропорциональны квадрату напряженности поля и для гармонических колебаний мы можем записать:
(1.13)
В результате для комплексных амплитуд уравнения Максвелла приобретут следующий вид:
, (1.14а)
, (1.14б)
, (1.14в)
(1.14г)
При этом преобразование Фурье может быть использовано для обращения решения уравнений из частотной области во временную.
Величины и в уравнениях (1.14) являются объемными плотностями электрического и магнитного токов с размерностями А/м2 и В/м2 соответственно. Однако во многих задачах электродинамики настоящие источники электромагнитного поля могут быть заданы в виде поверхностных или линейных плотностей тока, или в виде диполей. В этом случае исходные величины можно преобразовать к объемным плотностям посредством дельта функций Дирака, как показано на рис. 1.2.
Р ис.1.2. Заданные объемные (а), поверхностные (б), линейные (в) токи и электрический и магнитный диполи (г)