Общие соотношения

Без потери общности предположим, что падающая на границу раздела сред волна имеет только составляющую напряженности электрического поля, направленную по оси x, и распространяется вдоль положительного направления оси z. При этом компоненты поля падающей волны для z < 0 могут быть записаны следующим образом

, (1.127а)

, (1.127б)

где - характеристическое сопротивление свободного пространства, - произвольная амплитуда. А компоненты отраженной волны для этой же области пространства можно представить в виде

, (1.128а)

, (1.128б)

где  неизвестный пока коэффициент отражения. Следует обратить внимание на знак “+” в показателе степени экспоненты, означающий распространение волны в направлении – z. Кроме того, соотношения (1.128) определяют вектор Пойнтинга

,

указывающий на перенос мощности отраженной волной в направлении .

Согласно формулам (1.121) и (1.123) предыдущего параграфа уравнения для прошедшей в среду с потерями волны могут быть выражены в виде

, (1.129а)

, (1.129б)

здесь T - коэффициент передачи электрического поля,  - характеристическое сопротивление,  - постоянная распространения среды в области z > 0.

Таким образом, мы определили компоненты поля на границе раздела в общем виде, с неизвестными коэффициентами Г и T, которые могут быть найдены посредством применения граничных условий для касательных составляющих поля на границе раздела сред при z = 0. Поскольку касательные составляющие непрерывны на границе раздела, имеем уравнения

, (1.130а)

, (1.130б)

решение которых относительно коэффициентов отражения и передачи дает

, (1.131а)

. (1.131б)

Уравнения (1.131) являются самым общим решением, задачи отражения плоской волны от границы раздела при нормальном падении. Далее рассмотрим ряд частных случаев указанного выше решения.

Среды без потерь

Если в области пространства при z > 0 расположен диэлектрик без потерь, то , а и являются действительными числами. В этом случае постоянная распространения является чисто мнимой величиной и может быть записана следующим образом

, (1.132)

здесь и относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости соответственно, а - волновое число для вакуума. При этом длина волны в диэлектрике определяется соотношением

, (1.133)

где - длина волны в свободном пространстве, фазовая скорость -

, (1.134)

(очевидно, что фазовая скорость ниже, чем скорость света в вакууме) и характеристическое сопротивление диэлектрика

. (1.135)

Таким образом, в данном случае  является действительной величиной, следовательно, оба коэффициента  и T также являются действительными, а, значит, векторы E и H находятся в фазе в средах по обе стороны от границы.

Распределение мощности между падающей, отраженной и прошедшей волнами можно определить посредством вычисления комплексных векторов Пойнтинга для обоих полупространств. Так для z < 0 имеем выражение для комплексного вектора Пойнтинга:

, (1.136а)

т.к.  есть действительная величина. Для z > 0 получим выражение

,

которое, учитывая (1.131), можно переписать в виде

. (1.136б)

Заметим, что при z = 0 выполняется равенство потоков комплексной мощности, с обеих сторон от границы раздела. Рассмотрим теперь потоки активной мощности в обеих областях. В области z < 0 поток активной мощности через 1 м² составляет величину

, (1.137а)

а в области z > 0 -

, (1.137б)

т.е. имеем баланс активных мощностей.

Отметим, что при вычислении комплексного вектора Пойнтинга в области z < 0 по (1.136а) мы использовали суммарные значения векторов E и H. Если же мы вычислим значения комплексных векторов Пойнтинга для падающих и отраженных волн отдельно, мы получим

(1.138а)

и . (1.138б)

Очевидно, что из (1.136а). При этом отсутствующее в последней сумме слева слагаемое соответствует запасаемой в стоячей волне энергии в области z < 0. В связи с этим разложение вектора Пойнтинга на падающую и отраженную составляющие в общем случае не дает полного описания распределения комплексной мощности в области z < 0.