3.7. Волновое уравнение.

Выберем совокупность точек, принадлежащих сплошной среде и лежащих на одной прямой, вдоль которой распространяется продольная волна.

Пусть смещение некоторой точки, лежащей на этой прямой, из положения равновесия равно s. Расстояние между точками – dx. Для точек, расположенных на расстоянии dx смещения составляют s и s+ds, то есть при перемещении точки на расстояние dx смещение меняется на величину ds.

– относительная деформация.

Если >0 – расстояние между точками увеличивается – растяжение среды; если <0 – сжатие.

Пусть известно уравнение плоской бегущей волны: ,

первая производная по времени: (1)

и по координате: (2)

Сравнивая (1) и (2). получим: .

Отсюда видно, что деформация среды имеет по абсолютному значению наибольшую величину в тех точках. где скорость колеблющихся точек – наибольшая, то есть где точки проходят через положение равновесия. Из (1) и (2) найдем вторые производные:

Отсюда получим дифференциальное уравнение, с помощью которого описывается распространение волны вдоль оси 0Х:

или

Получили дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение волны. В трехмерном случае распространение волны в среде описывается дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением и имеет вид:

,

где S – физическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющееся в среде с скорость v;

– оператор Лапласа.

1