3.4. Затухающие колебания.

Реально свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают. Объясняется это действием сил, тормозящих движение, например, сил трения в месте подвеса при колебаниях маятника, или силой сопротивления среды. В этом случае энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против этих сил. Поэтому свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают.

Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды зависит от скорости и направлена в сторону, противоположную скорости. При малых скоростях: , где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Уравнение колебаний:

.

Введем обозначения: , тогда дифференциальное уравнение затухающего колебания:

(1)

где – коэффициент затухания, ₀ – собственная частота колебания. При отсутствии трения =0, уравнение примет вид уравнения для свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (1) получим зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного движения:

(2)

Выражение называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания. Огибающая на графике зависит от . Чем она больше, тем круче огибающая, то есть колебания быстрее затухают (рис.24.1).

Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в уравнение (1), можно найти значение угловой частоты: . Период затухающих колебаний равен: .

Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания :

.

Его натуральный логарифм есть безразмерная величина, называемая логарифмическим декрементом затухания: .

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающего колебания убывает в е раз, называют временем релаксации.

Тогда выражение для логарифмического декремента затухания примет вид: или .

Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

3.5. Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.

Пусть на систему действует внешняя сила, меняющаяся со временем по гармоническому закону: , где F₀ – амплитуда силы (максимальное значение),  – угловая частота колебаний вынуждающей силы. Тогда уравнение движения будет иметь вид:

=.

Разделим обе части этого уравнения на m и введем вновь обозначения: , тогда получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: = (1)

Решение этого уравнения, как известно из высшей математики, представляет собой сумму свободных и вынужденных колебаний:

Таким образом, вынуждающая сила раскачивает систему, сообщая ей запас энергии, и пополняет расходуемую энергию, поддерживая колебательное движение. В первый момент система совершает помимо вынужденных еще свободные колебания. Частота свободных колебаний определяется по известной формуле: . Эти колебания затухают, и устанавливаются колебания, частота которых равна частоте вынуждающей силы, то есть вынужденные колебания. Когда работа вынуждающей силы сравнивается с энергией потерь, колебания становятся установившимися. Амплитуда этих колебаний должна быть постоянной, если постоянна амплитуда вынуждающей силы.

Решение дифференциального уравнения при установившемся движении имеет вид: (2)

где А,  – величины, которые требуется определить,  – круговая частота колебаний внешней переменной силы. Подставляя (2) в (1) (без вывода), получаем искомые величины:

(3)

(4)

Амплитуда колебаний зависит от амплитуды и частоты внешних сил. При некоторой частоте внешних сил знаменатель в выражении (3) будет иметь минимальное значение, а амплитуда вынужденных колебаний – максимальное значение. Эта частота называется резонансной. Для ее нахождения, приравниваем к нулю производную:

,

Сократим на 4:, откуда получим: .

Резонансная амплитуда:

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте ₀, называется резонансом.

При коэффициенте затухания =0, когда отсутствуют силы сопротивления, , а А_рез становится бесконечно большой. На рисунке 25.1. даны зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы. Отдельные кривые соответствуют различным значениям коэффициента затухания . Эти кривые называются резонансными. Чем меньше коэффициент затухания, тем резче изменяется амплитуда вынужденных колебаний. При резонансе наступают наиболее благоприятные условия для поступления энергии в колеблющуюся систему от источника внешней силы. Увеличение амплитуды происходит до тех пор, пока вся работа внешней силы не сравняется с энергией потерь.