3.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. Простейшие механические колебательные системы.

Свободными (собственными) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Для того, чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.

Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы.

Пружинный маятник. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k (пружинный маятник, рис.22.1). В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины F= –kx. Тогда по второму закону динамики имеем: или . (1)

Если ввести обозначение , то уравнение (1) можно переписать в следующем виде: (2)

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида . Величина является циклической частотой колебаний. Период колебаний пружинного маятника: (3).

Математический маятник. Это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити (рис.22.3).

При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие , на тело будет действовать возвращающая сила . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как , то сила равна . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим , где , имеем: или . Отсюда период колебаний математического маятника: .

Физический маятник. Его образует твердое тело, подвешенное в поле тяжести на закрепленной горизонтальной оси. Возвращающим моментом является момент силы тяжести , где – расстояние от оси до центра тяжести тела.

При малых значениях , тогда возвращающий момент: .

В соответствии с основным законом динамики вращения: , где J – момент инерции маятника относительно оси, e – угловое ускорение.

Так как , то . Приравнивая два момента для одного тела, находим:

; , (4)

где – приведенная длина физического маятника.

3.3. Энергия гармонических колебаний.

Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии. Покажем это.

Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в выражение для кинетической энергии подставить скорость :

(1).

Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от положения равновесия, и равна:

.

Учитывая, что , получим:

. (2).

Полная механическая энергия осциллятора равна:

.

.

Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются со временем, причем, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.23.1). Период колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты. Постоянство полной механической энергии обусловлено отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил сопротивления.