Т е м а 1. Приведение уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду.
Общий вид уравнений с частными производными второго порядка можно записать в виде соотношений между независимыми переменными, искомой функцией и ее частными производными первого и второго порядков:
.
Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных – производных второго порядка, то есть, имеют вид:
где коэффициенты
при старших производных
являются
функциями только независимых переменных
.
Если коэффициенты
зависят не только от
,
а являются, подобно F, функциями
,
то такое уравнение называется
квазилинейным. Если функция
линейна относительно аргументов
,
то уравнение называется линейным.
Линейные уравнения имеют вид:
,
(1)
где коэффициенты
,
c являются функциями только независимых
переменных
.
Если
,
то уравнение (1) называется линейным
однородным, в противном случае -
неоднородным. Если коэффициенты
,
c постоянны, уравнение (1) называется
линейным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Все многообразие уравнений линейных относительно старших производных может быть разделено на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств.
Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу) – классификация уравнений – определяется коэффициентами при старших производных. Мы проведем классификацию прежде всего для уравнений, в которых искомая функция u зависит лишь от двух переменных : u = u(x,y). В этом случае уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде:
,
(2)
где
являются функциями x и y. А линейные
уравнения – в виде:
,
(3)
где
,
- функции только от x и y. Любое
такое уравнение (2) и (3) с помощью замены
независимых переменных может быть
приведено к более простому – каноническому
виду.
При помощи замены переменных
,
,
(4)
где
,
-
дифференцируемые функции, преобразуем
исходные уравнения к наиболее простому
виду. Вычислим частные производные
,
,
,
(5)
,
.
Подставляя значения производных из (5) в уравнение (2) , будем иметь
,
(5а)
где
,
,
(6)
.
Заметим, что если уравнение линейно, то
,
где
,
.
Непосредственной проверкой устанавливаем справедливость тождества
.
(7)
Обозначим
через
- дискриминант исходного уравнения в
частных производных второго порядка.
Из этого тождества следует, что знаки
дискриминанта исходного и преобразованного
уравнения одинаковые.
Теперь мы можем принять следующую классификацию уравнений вида (2).
Если в некоторой
области D дискриминант
положителен,
,
то уравнение (2) называется гиперболическим
в D (гиперболического типа в D).
Если
во всех точках области D, то уравнение
(2) называется параболическим в D
(параболического типа в D).
Если
в области D, то уравнение (2) называется
эллиптическим в D (эллиптического
типа в D).
Из тождества (7) следует, что при замене независимых переменных по формулам (4) тип уравнения (2) не изменяется.
Приведем уравнение (2) к каноническому виду. Для каждого типа уравнения существует своя каноническая форма.